Comportement périodique en temps long des solutions mesures pour une équation de croissance-fragmentation dans un cas critique

par M. Hugo Martin (INSERM)

mardi 8 déc. 2020, 15:15 → 16:15 Europe/Paris

Ces dernières années, les solutions mesures pour les EDPs, en particulier celles modélisant des populations, ont bénéficié d'une attention grandissante. Cet exposé s'attachera à la présentation d'un résultat récent et original dans ce domaine, que nous avons obtenu avec Pierre Gabriel.

D'abord, je présenterai des résultats d'existence, unicité et comportement asymptotique pour deux équations de populations structurées, à la fois dans le cadre L^p et dans le cadre mesure, et introduirai le cas particulier qui nous a intéressé. Ensuite, j'expliciterai la notion de solution que nous avons retenue.

Ensuite, je passerai à la preuve en elle-même, et présenterai les principales étapes de la preuve du caractère bien posé, qui repose sur une relation de dualité utilisée pour construire une solution, que l'on exprime sous la forme d'un semigroupe agissant sur une condition initiale. Pour finir, j'entrerai un peu plus dans les détails de la démonstration du résultat en temps long. En particulier, je montrerai comment on a utilisé le théorème ergodique de Harris pour obtenir une "convergence" uniforme exponentielle en norme de la variation totale vers une mesure oscillante.