Etant donnée une action d'un groupe $\Gamma$ sur un domaine commutatif $R$, on souhaite étendre cette action à un anneau d'opérateurs pseudo-différentiels $B=R((x ; d))$ (où $d$ désigne une dérivation de $R$), ainsi qu'à une extension quadratique "canonique" de $B$. On donnera une condition nécessaire et suffisante de compatibilité entre l'action et la dérivation $d$ pour qu'existe une telle extension, et on déterminera l'ensemble des extensions possibles, et on étudiera les sous-algèbres invariantes par l'action de $\Gamma$.
On expliquera comment cette étude générale s'applique dans le contexte arithmétique des formes modulaires (où $\Gamma$ désigne un sous-groupe de $SL(2, \mathbb{C})$ agissant par homographies sur une algèbre de fonctions $R$ d'une variable complexe). On montrera en particulier l'apport qu'induit en arithmétique la structure algébrique non-commutative issue de cette construction.
