Récemment, Colmez et Niziol ont prouvé un théorème de comparaison entre les cycles proches p-adiques arithmétiques et la cohomologie des faisceaux syntomiques. Ils ont pour cela donné une construction locale utilisant des (\phi, \Gamma)-modules qui permet de réduire l'isomorphisme de période à un théorème de comparaison entre des algèbres de Lie. Dans la première partie de l'exposé, je donnerai une version géométrique de cette construction.
Ce morphisme de période est utile pour décrire la cohomologie étale d'espaces analytiques rigides. On peut notamment en déduire la conjecture semi-stable de Fontaine-Jannsen qui relie la cohomologie étale de la variété analytique rigide associée à un schéma formel semi-stable propre à sa cohomologie de Hyodo-Kato. Ce résultat a également été prouvé par (entre autres) Tsuji, via l'application de Fontaine-Messing, et par Cesnavicius et Koshikawa, qui généralisent la preuve de la conjecture cristalline de Bhatt, Morrow et Scholze. J'expliquerai comment utiliser l'application construite dans la première partie pour montrer que les morphismes de période de Tsuji et de Cesnavicius-Koshikawa sont égaux.
