Ezequiel Maderna:"Solutions de viscosité et mouvements complètement hyperboliques dans le problème des n corps."
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Europe/Paris
435 (UMPA)
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UMPA
Description
(Collaboration avec Andrea Venturelli, Université d'Avignon).
Jean Chazy fut le premier à classifier les façons éventuelles dont un système de n masses ponctuelles soumises aux attractions mutuelles gravitatoires peut évoluer en supposant que ni de collisions ni d'autres singularités se produisent en temps fini. Parmi ces travaux parus entre 1913 et 1922 sur le sujet, il introduit un type particulier de solutions, dont les orbites forment un ouvert dans l'espace de phases appelées (complètement) hyperboliques. Ce sont les mouvements dans lesquels toutes les distances entre les corps divergent de façon asymptotiquement proportionnelle au temps. Ces mouvements généralisent naturellement les hyperboles décrites par les mouvements à énergie positive dans le problème de Kepler. Il a montré que chacun de ces mouvements possède un développement asymptotique, quand le temps croît indéfiniment, dont la partie non bornée ne dépend que de la figure limite qui doit engendrer ce mouvement.
Je vais expliquer comment, l'utilisation de solutions de viscosité (au sens de Crandall, Evans et Lions) d'une équation d'Hamilton-Jacobi naturellement associée au système, nous permet de montrer le théorème suivant:
Pour toute configuration initiale des positions des masses $x_0$, pour toute valeur de la constante d'énergie $h>0$, et pour toute figure limite sans collisions $a$, il existe un mouvement complètement hyperbolique $x(t)$ défini pour tout $t\geq 0$ tel que
\[
x(t)=ta - \log(t) \nabla U(a) + b(t)
\]
où $b(t)$ est une fonction bornée et $U(x)$ es le potentiel newtonien.
Ces recherches nous mènent naturellement à la question de savoir s'il existent (en général) des mouvements bihyperboliques (i.e. hyperboliques dans le futur et le passé) avec les deux figures limites préscrites. Ce problème est ouvert même pour le problème des trois corps dans le plan.
