Géométrie, Algèbre, Dynamique et Topologie

Sous-groupes de dimension et groupes d'homotopie de sphères

by Laurent BARTHOLDI (ENS Lyon)

Europe/Paris
Salle 318 (IMB)

Salle 318

IMB

Description

La suite centrale descendante d'un groupe G est définie par $\gamma_1
= G$ et $\gamma_n = [G,\gamma_{n-1}]$. La suite de dimension, par contre, est définie à l'aide de l'algèbre de groupe, par $\delta_n = \{g: g-1$ est dans la $n$-ième puissance de l'idéal d'augmentation $\}$.

De nombreux résultats relient ces suites: elles coincident jusqu'à $n=3$, mais peuvent ensuite différer, comme l'a montré un exemple de Rips. On a toujours $\delta_n \ge \gamma_n$, et Sjogren a montré que l'exposant de $\delta_n/\gamma_n$ est fini, borné par une fonction de $n$ seulement.

Encore plus fort, Gupta a montré, dans une série d'articles, que $\delta_n/\gamma_n$ est toujours d'exposant au plus $2$. Toutefois, sa preuve reste incompréhensible, et doit être fausse à un moment crucial: avec Roman Mikhailov, nous construisons pour tout premier $p$ un groupe dans lequel $\delta_n/\gamma_n$ est d'ordre divisible par $p$. La construction est basée sur l'élément d'ordre $p$ dans le groupe d'homotopie $\pi_{2p}(S^2)$ dû à Serre.