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v3.2.9
Pour certaines séries de puissances $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n\in\mathbb{Q}[[z]]$ on a la situation suivante:
il existe un ensemble $\mathcal{S}$ infini de nombres premiers tel que:
- Pour tout $p\in\mathcal{S}$, $f\in\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]$, c'est-à- dire $p$ ne divise pas les dénominateurs des $a_n$.
- Pour tout $p\in\mathcal{S}$, la réduction de $f$ modulo $p$, $f_{\mid p}$, est alébrique sur $\mathbb{F}_{p}(z)$ où $\mathbb{F}_{p}$ est le corps à $p$ éléments.
Par exemple, les travaux de Funstenberg et Deligne montrent que ce cas se présente pour les séries qui sont obtenues à partir des coefficients diagonaux de fractions rationnelles à plusieurs variables.
Dans cet exposé, je vous propose d'expliquer pourquoi cette situation arrive. A cet effet, on introduira une action de type Frobenius sur les solutions des équations différentielles à coefficients dans $\mathbb{Q}(z)$, qui est connue comme la structure de Frobenius forte.
Par exemple, les équations hypergéométriques (à définir pendant l'exposé) sont munies d'une structure de Frobenius forte.
Ensuite, on se concentrera sur les séries de puissances $f(z)$ telles que pour tout $p\in\mathcal{S}$,
f_{\mid p}=a(z)f_{\mid p}(z^{p})\mod{p\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]},
où $a(z)\in\mathbb{F}_{p}[z]$ et dont le degré est inférieur ou égal à $Cp$, avec $C\in\mathbb{R}$ une constante indépendante de $p$.
Finalement on verra comment la structure de Frobenius forte nous permet de montrer que la série de puissances $_{2}F_{1}(1/2,1/2,2/3,z)=\sum_{j\geq0}\frac{(1/2)_{j}^2}{(2/3)_jj!}z^j$
où $(x)_j=x(x+1)\cdots(x+j-1)$ pour $x\in\mathbb{R}$, satisfait une équation de la forme \eqref{alg} pour une ensemble infini de nombres premiers et comment à partir de cela, on en déduit que $_{2}F_{1}(1/2,1/2,2/3,z)$ est transcendante sur $\mathbb{Q}(z)$.