Soit $p > 2$ un nombre premier. Soit $X$ une courbe lisse de genre $g$ définie sur $\mathbb F_p$ ; à chaque recouvrement non ramifié $\pi:Y \rightarrow W$ de degré 2 est associée une variété de Prym, notée $P_{\pi}$, qui est une variété abélienne principalement polarisée de dimension $g-1$. On connaît en général quelles sont les valeurs des $p$-rangs possibles de $P_{\pi}$, sous certaines conditions portant sur le $p$-rang de $X$... mais il reste des cas ouverts.
Dans la lignée des travaux d'Ozman et Pries, nous allons présenter des exemples de construction de variétés de Prym afin d'étudier l'existence de courbes lisses $X$ et de recouvrements non ramifiés de degré 2 $\pi : Y \rightarrow X$ tels que $X$ et $P_{\pi}$ ont des genres et des $p$-rangs donnés. Nous insisterons particulièrement sur les cas non résolus, qui apparaissent pour des petites valeurs du $p$-rang de $P_{\pi}$. Les méthodes utilisent principalement les propriétés des matrices de Hasse-Witt de $X$ et $P_{\pi}$.
Collaboration avec Türkü Ozlum Celik, Yara Elias, Burçin Günes, Rachel Newton, Ekin Ozman, Rachel Pries.
