Laurent Bartholdi: "Groupes de dimension et groupes d'homotopie de sphères"

mercredi 28 nov. 2018, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

La suite centrale descendante d'un groupe G est définie par $\gamma_1
= G$ et $\gamma_n = [G,\gamma_{n-1}]$. La suite de dimension, par
contre, est définie à l'aide de l'algèbre de groupe, par $\delta_n =
\{g: g-1$ est dans la $n$-ième puissance de l'idéal
d'augmentation$\}$.

De nombreux résultats relient ces suites: elles coincident jusqu'`a
$n=3$, mais peuvent ensuite différer, comme l'a montré un exemple de
Rips. On a toujours $\delta_n \ge \gamma_n$, et Sjogren a montré que
l'exposant de $\delta_n/\gamma_n$ est fini, borné par une fonction de
$n$ seulement.

Encore plus (trop!) fort, Gupta a montré, dans une série d'articles, que
$\delta_n/\gamma_n$ est toujours d'exposant au plus $2$. Toutefois, sa
preuve reste incompréhensible, et doit être fausse à un moment
crucial: avec Roman Mikhailov, nous construisons pour tout premier $p$
un groupe dans lequel $\delta_n/\gamma_n$ est d'ordre divisible par
$p$.

La construction est basée sur l'élément d'ordre $p$ dans le groupe
d'homotopie $\pi_{2p}(S^2)$ dû à Serre. Nous montrons, en fait, que

le noyau de l'homomorphisme d'Hurewicz (homotopie $\to$ homologie)

peut se plonger dans un quotient $\delta_n/\gamma_n$ pour un groupe

bien choisi.