Séminaire Logique mathématique ICJ

Presqu'actions, et applications aux sous-groupes abéliens maximaux du quotient de S(X)/fin.

par Yves Cornulier (ICJ)

Europe/Paris
Salle 112 bât Braconnier

Salle 112 bât Braconnier

Description

Il est facile de déterminer les sous-groupes abéliens maximaux du groupe S(X) des permutations d'un ensemble quelconque X. En particulier, pour X dénombrable, ces sous-groupes sont fermés donc polonais, donc ont cardinal dénombrable ou continu.

Quid du quotient S(X)/fin par le groupe des permutations à support fini de X? La difficulté vient du fait qu'un sous-groupe abélien du quotient n'est pas toujours image d'un sous-groupe abélien en haut. Shelah et Steprans (2007) ont étudié l'ensemble des cardinaux possibles pour des sous-groupes abéliens maximaux de S(omega)/fin et montrent par exemple qu'il est consistant qu'aleph_1 n'en soit pas (sous HC, il l'est bien entendu!). Leur étude se concentre sur les sous-groupes abéliens maximaux qui sont non dénombrables.

On va regarder, parmi les groupes abéliens maximaux de S(X)/fin, ceux qui sont dénombrables. Quels groupes abéliens dénombrables sont isomorphes à un tel groupe? on montrera que la réponse est: ce sont les groupes non localement finis, à l'exception de ceux qui sont (virtuellement cycliques et non cyclique infini).

Cet énoncé un peu curieux (avec Z qui est une exception parmi les exceptions) devient moins bancal si on change la question en remplaçant S(X)/fin par son groupe d'automorphismes (qui est une extension de ce dernier par le quotient Z), à savoir le groupe S*(X) des presque permutations de X. Alors on montre qu'un groupe abélien dénombrable est isomorphe à un sous-groupe maximal abélien de ce dernier si et seulement s'il est non localement fini.

Le langage approprié pour étudier ces questions est celui des presqu'actions, qu'on introduira.