par Bruno Poizat (ICJ)

Europe/Paris
Salle 112 bât. Braconnier

Salle 112 bât. Braconnier

Description

Symétrons

Cet exposé résume deux articles, le premier paru au Journal of Algebra, dont je vous ai déja parlé, et le second soumis. Comme il s'agit de notions que je crois et espère nouvelles, il y aura pas mal de définitions, et de résultats présentés avec des démonstrations succinctes.

Soit G un groupe ; une symétrie est une application de la forme a.x-1.a , et une partie C de G est dite convexe si elle est close par symétrie : si x et y sont dans C , y.x-1.y l'est aussi. Cette notion a été introduite pour analyser la démonstration par Frécon d'inexistence d'un mauvais groupe de rang de Morley trois, qui consiste à construire un plan, c'est à dire un ensemble convexe de rang deux, puis à montrer qu'il n'y a pas de plans.

Le groupe G est dit médial si chacun de ses points a une unique racine carrée ; un groupe fini, périodique ou oméga-stable, et qui n'a pas d'involutions, est médial. Si x et y sont deux points d'un groupe médial, il existe un unique z tel que z.x-1.z = y , que nous appelons le milieu de x et de y ; une partie de G convexe et close par prise de milieu définit un symétron, qui est une structure dans le langage de deux fonctions m(x,y) et s(x,y) satisfaisant aux équations suivantes :

1. m(x,x) = x , m(x,y) = m(y,x) ;

2. s(x,m(x,y)) = y , m(x,s(x,y)) = y ;

3. s(m(x,y),z) = m(s(x,z),s(y,z)) .

Nous caractériserons les symétrons finis, et étudierons les symétrons de rang de Morley fini.