Séminaire Théorie des nombres

A propos d'une version faible du Problème Inverse de Galois

par Prof. Bruno DESCHAMPS

Europe/Paris
X203 (Xlim)

X203

Xlim

Av. Albert Thomas 87000 Limoges
Description

 

Dans les travaux de E. Fried et J. Koll\'ar en 1978 et de M. Fried en 1980, il a été démontré que tout groupe fini était le groupe d'automorphismes d'une extension finie du corps des rationnels. Il s'agit là d'une réponse positive à une forme faible du traditionnel Problème Inverse de la théorie de Galois, problème qui consiste à savoir si tout groupe fini $G$ apparait comme groupe de Galois d'une extension \underline{galoisienne} sur $\Q$. Depuis les travaux de Fried-Koll\'ar/Fried, plusieurs avancées ont été faites sur cette forme faible du problème inverse. La plus récente date de 2017 et est due à E. Paran et F. Legrand qui montrent qu'elle est en fait vraie sur tout corps hilbertien. Dans un récent travail avec Fran\c cois Legrand, nous avons expliqué comment fournir des exemples sur des corps non hilbertiens. En particulier, nous avons montré que, pour tout groupe fini $G$, il existait un corps $k$ sur lequel la forme faible du problème inverse est vraie mais tel que $G$ ne soit pas groupe de Galois sur le corps $k$. Ce résultat montre ainsi le fossé qui existe entre le Problème Inverse de Galois et sa forme faible. Je parlerai dans cet exposé de ce travail.