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v3.2.9
Un résultat célèbre sur les mosaïques de Poisson-Voronoi dans le plan dit que le nombre moyen de sommets de la cellule typique est égal à 6. Sur une surface, fixons un point x_0 et rajoutons lui un processus de Poisson ponctuel d'intensité "lambda". Comme l'on s'y attend, lorsque lambda tend vers l'infini, le nombre moyen de sommets de la cellule de Voronoi associée à x_0 tend vers 6, car la taille de la cellule tend vers 0, et celle-ci "perçoit" donc peu la courbure de la surface. Nous montrerons que la correction à cette limite est équivalente à (3/pi) *(K(x_0)/ lambda) où K(x_0) est la courbure de Gauss de la surface au point x_0. Nous évoquerons comment ce résultat se généralise à des variétés de dimension quelconque et nous montrerons comment, en dimension 2, il fournit une preuve du théorème de Gauss-Bonnet.
(Travail en collaboration avec Pierre Calka et Aurélie Chapron).