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v3.2.9
On considère un système d'équation différentielles dans le plan de la forme $\dot{x}=F(x,y),\dot{y}=G(x,y)$ avec $F,G$ fonctions rationnelles. On étudiera d'abord l'équation réduite $\frac{\partial y}{\partial x} =G/F(x,y)$ définissant un feuilletage du plan, et pouvant posséder $4$ types d'invariants différentiels, correspondant respectivement à des intégrales premières rationelles, Darbouxiennes, Liouvilliennes et Ricatti. Pour chacun de ces types, nous définirons une notion de degré et une matrice extatique généralisée dont le noyau donne ces intégrales premières jusqu'au degré $n$. Nous en déduirons un algorithme pour les calculer jusqu'à un degré donné, et nous discuterons du degré de transcendance de l'intégrale première obtenue vis à vis du rang du feuilletage. Enfin, pour exprimer implicitement $x,y$ en fonction du temps, nous avons besoin de calculer une intégrale sur un feuilletage, ce qui dans le cas transcendant peut être difficile. En fonction du rang, nous présenterons les conditions d'existences d'une équation de Picard Fuchs ainsi qu'une procédure pour la calculer si elle existe. De nombreux exemples seront présentés pour chacun des cas.