Description
L'équation de Helmholtz est utilisée, par exemple, pour modéliser la diffusion/diffraction d'une onde plane par un obstacle ($\mathcal{O}$). Afin de simuler par une méthode de type éléments finis cette équation, la taille du domaine (infinie dans le cadre physique, $\mathbb{R}^n \setminus \mathcal{O}$) doit être réduite.
Une condition sur la nouvelle partie du bord doit être imposée de telle sorte que la solution dans ce nouveau domaine soit proche de la solution physique. Pour cela, le choix de l'utilisation d'une technique consistant à ajouter une couche au voisinage de cette partie du bord (Perfectly Matched Layer (PML)) est fait. L'équation au sein de cette couche est alors modifiée dans le but d'absorber les ondes diffusées, sans ajouter de réflexion. L'utilisation d'une méthode d'éléments finis sur ce problème à pour conséquence un effet connu de pollution, lié à un paramètre de l'équation de Helmholtz $k$, le nombre d'ondes. En effet, plus $k$ est grand, plus le pas du maillage $h$ devra être petit et le degré de la méthode $p$ grand pour garantir l'existence et la convergence de la solution numérique.
Dans cet exposé, je présenterai donc l'équation de Helmholtz avec une PML ainsi qu'une analyse de convergence pour une méthode d'éléments finis.
