Les phénomènes de contact impliquant des corps déformables abondent en industrie et dans la vie de tous les jours. Le contact du piston avec la chemise, de la roue sur la chaussée et d'une chaussure avec le sol ne représentent que trois exemples parmi bien d'autres. Accompagnés de phénomènes physiques et de surface complexes, les processus de contact sont modélisés par des problèmes d’évolution aux limites non linéaires et non réguliers.
L’objectif de cet exposé est de présenter une introduction à la Théorie Mathématique de la Mécanique du Contact. Ainsi, nous commençons par présenter plusieurs hypothèses de nature mécanique, faisant intervenir une grande variété de lois de comportement (élastiques, viscoélastiques, viscoplastiques, parfaitement plastiques, avec ou sans variable interne d'état et/ou endommagement,...), ainsi qu'un grand spectre de conditions aux limites de contact. En utilisant ces ingrédients, nous construisons plusieurs modèles mathématiques de contact, représentés par des systèmes d'équations aux dérivées partielles associés à des conditions aux limites non linéaires et, éventuellement, à des conditions initiales. Puis, nous nous intéressons à l'analyse variationnelle de ces modèles. Ainsi, nous présentons des résultats allant de l'existence et l'unicité des solutions faibles à la dépendance continue par rapport aux données et paramètres, en passant par des résultats de régularité, de comportement asymptotique et de contrôle optimal. Pour ce faire, nous utilisons des arguments de monotonie, de compacité, de convexité et de point fixe. Nous présentons aussi des simulations numériques dans l’étude de plusieurs problèmes de contact élastique, viscoélastique et viscoplastique.
