Introduction aux problèmes de courbure moyenne prescrite

par Olivier Druet (Université Lyon 1)

lundi 20 nov. 2017, 13:30 → 15:00 Europe/Paris

salle Fokko du Cloux (ICJ, UCBL - La Doua, Bât. Braconnier)

Le groupe de travail de cette année 2017-2018 va tourner autour d'une question de Yau (1982) : trouver des conditions raisonnables sur une fonction $H:{\mathbb R}^3\mapsto {\mathbb R}$ pour qu'il existe une surface (plongée, immergée) de genre fixé $\Sigma \subset {\mathbb R}^3$ telle que si $p\in \Sigma$, sa courbure moyenne en $p$ soit $H(p)$. D'où le nom de problème de courbure moyenne prescrite (dans la cible ou externe). En effet, la courbure moyenne est donnée dans l'espace ambiant. On peut également poser la question suivante : étant donnée $\Sigma$ une surface (sphère, tore, etc...), trouver des conditions sur $H:\Sigma\mapsto {\mathbb R}$ telle qu'il existe une immersion (ou plongement) $\varphi:\Sigma\mapsto {\mathbb R}^3$ telle que la courbure moyenne en $\varphi(x)$ soir $H(x)$. Ici, la courbure moyenne est prescrite en interne (sur la base). Cette question se décline de mille façons : interne/externe, genre (sphère, tore, etc...), espace cible (${\mathbbb R}^3$ ou plus généralement une variété). Cette première séance est introductive.