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Séminaire de géométrie algébrique

Xie Junyi (Rennes) Sur une conjecture de Silverman pour les endomorphismes du plan affine

vendredi 24 novembre 2017 de au (Europe/Paris)
at Angers ( I 001 )
Description
Jonsson, Wulcan et moi travaillons sur une conjecture de Silverman pour les
endomorphismes polynomiaux du plan affine.
Soit f = (F, G) : A 2 → A 2 un endomorphisme polynomial défini sur Q. No-
tons deg(f ) := max{deg F, deg G} le degré algébrique de f . Notons λ 1 (f ) le
degré dynamique de f c.-à.-d. λ 1 (f ) := lim sup n→∞ deg(f n ) 1/n et λ 2 (f ) le degré
topologique de f c.-à.-d., le nombre de préimages d’un point générique. Pour
tous les points p ∈ A 2 (Q), notons O f (p) := {f n (p)| n ≥ 0} l’orbite de p.
Pour tous les point p ∈ A 2 (Q), Silverman a défini le degré arithmétique de f
comme la quantité
α f (p) := lim sup h(f n (p)) 1/n
n→∞
2
où h est la hauteur naı̈ve de A (Q). Il a également montré que α f (p) ≤ λ 1 (f )
pour tout p ∈ A 2 (Q). Dans notre cas, la conjecture de Silverman devient la
suivante
Conjecture 0.1. f : A 2 Q → A 2 Q un endomorphisme polynomial dominant défini
sur Q. Alors
(i) l’ensemble {α f (p)| p ∈ A 2 (Q)} est un ensemble fini d’entiers algébriques;
(ii) si p ∈ A 2 (Q) est un point dont l’orbite O f (p) est Zariski dense dans A 2 ,
alors on a α f (p) = λ 1 (f ).
Avec Jonsson et Wulcan, nous avons prouvé la conjecture 0.1 dans le cas où
λ 2 ≤ λ 1 . En outre, nous avons prouvé que la conjecture de Vojta implique la
conjecture 0.1.