Séminaire de géométrie algébrique

Xie Junyi (Rennes) Sur une conjecture de Silverman pour les endomorphismes du plan affine

Europe/Paris
I 001 (Angers)

I 001

Angers

Description
Jonsson, Wulcan et moi travaillons sur une conjecture de Silverman pour les endomorphismes polynomiaux du plan affine. Soit f = (F, G) : A 2 → A 2 un endomorphisme polynomial défini sur Q. No- tons deg(f ) := max{deg F, deg G} le degré algébrique de f . Notons λ 1 (f ) le degré dynamique de f c.-à.-d. λ 1 (f ) := lim sup n→∞ deg(f n ) 1/n et λ 2 (f ) le degré topologique de f c.-à.-d., le nombre de préimages d’un point générique. Pour tous les points p ∈ A 2 (Q), notons O f (p) := {f n (p)| n ≥ 0} l’orbite de p. Pour tous les point p ∈ A 2 (Q), Silverman a défini le degré arithmétique de f comme la quantité α f (p) := lim sup h(f n (p)) 1/n n→∞ 2 où h est la hauteur naı̈ve de A (Q). Il a également montré que α f (p) ≤ λ 1 (f ) pour tout p ∈ A 2 (Q). Dans notre cas, la conjecture de Silverman devient la suivante Conjecture 0.1. f : A 2 Q → A 2 Q un endomorphisme polynomial dominant défini sur Q. Alors (i) l’ensemble {α f (p)| p ∈ A 2 (Q)} est un ensemble fini d’entiers algébriques; (ii) si p ∈ A 2 (Q) est un point dont l’orbite O f (p) est Zariski dense dans A 2 , alors on a α f (p) = λ 1 (f ). Avec Jonsson et Wulcan, nous avons prouvé la conjecture 0.1 dans le cas où λ 2 ≤ λ 1 . En outre, nous avons prouvé que la conjecture de Vojta implique la conjecture 0.1.
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