Gaëtan Chenevier (CNRS - École Polytechnique)
Formes quadratiques sur $\mathbb{Z}$ et formes automorphes
Un réseau unimodulaire pair de l'espace euclidien standard $\mathbb{R}^n$ est un réseau $L$ de covolume 1 tel que $x \cdot x \in 2\mathbb{Z}$ pour tout $x$ dans $L$. La classification de ces réseaux à isométries euclidiennes près est équivalente à celle des formes quadratiques sur $\mathbb{Z}$ qui sont définies positives et non dégénérées "sur $\mathbb{Z}$". Il n'en existe qu'en dimension $n \equiv 0 \bmod 8$, l'exemple le plus simple étant le réseau de $\mathbb{R}^8$ engendré par un système de racines $\Phi \subset \mathbb{R}^8$ de type ${\rm E}_8$ tel que $\alpha \cdot \alpha =2 $ pour tout $\alpha \in \Phi$.
Dans cet exposé, je rappellerai d'abord comment ces réseaux ont été classifiés jusqu'en dimension $24$ (Mordell, Witt, Kneser, Niemeier, Venkov). La théorie des formes modulaires pour le groupe ${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ joue un rôle important dans ces questions (séries théta). J'aborderai ensuite un raffinement "élémentaire" du problème de classification, à savoir la détermination du nombre des réseaux unimodulaires pairs qui sont $p$-voisins au sens de Kneser d'un réseau unimodulaire pair donné. Les travaux récents en théorie des formes automorphes pour les groupes orthogonaux établissent des liens surprenants entre cette question et certaines représentations ${\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \rightarrow {\rm GL}(n,\overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ non ramifiées hors de $\ell$. Nous les illustrerons sur quelques exemples.
