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Gaëtan Chenevier "Formes quadratiques sur Z et formes automorphes"

Europe/Paris
Salle 314 (IHP)

Salle 314

IHP

Description

Gaëtan Chenevier (CNRS - École Polytechnique)
Formes quadratiques sur Z et formes automorphes


Un réseau unimodulaire pair de l'espace euclidien standard Rn est un réseau L de covolume 1 tel que xx2Z pour tout x dans L. La classification de ces réseaux à isométries euclidiennes près est équivalente à celle des formes quadratiques sur Z qui sont définies positives et non dégénérées "sur Z". Il n'en existe qu'en dimension n0mod8, l'exemple le plus simple étant le réseau de R8 engendré par un système de racines ΦR8 de type E8 tel que αα=2 pour tout αΦ.
Dans cet exposé, je rappellerai d'abord comment ces réseaux ont été classifiés jusqu'en dimension 24 (Mordell, Witt, Kneser, Niemeier, Venkov). La théorie des formes modulaires pour le groupe SL(2,Z) joue un rôle important dans ces questions (séries théta). J'aborderai ensuite un raffinement "élémentaire" du problème de classification, à savoir la détermination du nombre des réseaux unimodulaires pairs qui sont p-voisins au sens de Kneser d'un réseau unimodulaire pair donné. Les travaux récents en théorie des formes automorphes pour les groupes orthogonaux établissent des liens surprenants entre cette question et certaines représentations Gal(Q/Q)GL(n,Q) non ramifiées hors de . Nous les illustrerons sur quelques exemples.

notes