Arthur-César Le Bras (ENS) et Valentin Hernandez (Jussieu)
Le lemme de Dehn arithmétique.
Soit S un ensemble fini de nombres premiers. Notons $\mathbf{Q}_S$ l’extension algébrique du corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels, non ramifiée hors de S et l’infini maximale, et $G_S = Gal(\mathbf{Q}_S/\mathbf{Q})$. Si S est vide, un théorème célèbre de Minkowski affirme que $G_S$ est trivial. Toutefois, dès que S est non vide, on ne sait étonnamment dire que très peu de choses sur le groupe $G_S$.
Par exemple, fixons p dans S et un plongement $\mathbf{Q}_S \to \bar{\mathbf{Q}_p}$. Le morphisme continu $Gal(\bar{\mathbf{Q}_p}/\mathbf{Q}_p) \to G_S$ qui s’en déduit est-il injectif ? En particulier, existe-t-il pour tout entier m une extension finie de $\mathbf{Q}$ non ramifiée hors de S et de degré divisible par m ? Cette question, soulevée par Greenberg et Milne, est encore non résolue.
Dans cette série de deux exposés, nous expliquerons, d’après Clozel et Chenevier, comment l’on peut apporter une réponse positive au problème précédent sous l’hypothèse que S contienne au moins deux nombres premiers. La construction des extensions algébriques cherchées suit des chemins très détournés — ce qui en fait le charme ! — et est un bel exemple d’application arithmétique de la philosophie de Langlands.
