Structures métriques sur le groupe des difféomorphismes d’une variété compacte

par Sylvain Arguillere

vendredi 9 juin 2017, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

Salle 112 (ICJ)

Soit M une variété riemannienne compacte. On peut munir son groupe des difféomorphismes (à régularité Sobolev) d’une structure de variété de Hilbert lisse, grâce à l’exponentielle riemannienne sur M. La loi de composition en fait alors un groupe topologique qui est "presque" un groupe de Lie. Par exemple, on peut construire des champs de vecteurs invariants à droite, mais ceux-ci sont seulement continus, et le crochet de Lie n’est défini que sur un sous-espace dense. Dans cet exposé, j’étudierai divers exemples de métriques riemanniennes et sous-riemanniennes invariantes à droite sur ce groupe. On verra en particulier que les deux points de vues habituels de la mécanique cessent d’être équivalent: le point de vue lagrangien permet d’utiliser la structure lisse, et facilite par exemple la preuve d’existence de solutions à l’équation des géodésiques, alors que le point de vue eulérien permet d’utiliser la symétrie de la métrique pour obtenir une forme plus simple de cette équation. Les résultats les plus précis sont bien sûr obtenus lorsqu’on peut utiliser les deux points de vues à la fois: pour les métriques à la fois lisses invariantes à droite.