En 2001 Sela et Kharlampovich-Myasnikov ont caractérisé tout le groupe de type fini qui a la même théorie du premier ordre avec un groupe libre non abélien. Dans cet exposé nous montrerons quand un groupe élémentairement libre a la même théorie du premier ordre avec tout son sous-groupe d'indice fini. Nos résultats s'étendent dans le cadre des groupes hyperboliques. C'est un travail en commun avec V. Guirardel et G. Levitt.
