Équations différentielles p-adiques sur les courbes de Berkovich et formule de Riemann-Hurwitz

par Andrea Pulita (Grenoble)

jeudi 16 févr. 2017, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Salle A1 (UMPA, ENS de Lyon)

Soit X une courbe de Berkovich quasi-lisse, et une équation différentielle F sur X, sans aucun opérateur ni autres restrictions. L'étude d'une telle équation, et en particulier le fait que sa cohomologie soit de dimension finie, était un problème essentiellement peu exploré jusqu'à 2010. Les résultats dans ce sens sont essentiellement dus à Dwork et Robba, puis Christol et Mebkhout, et sont (sauf des exceptions) de nature locale au sens de la géométrie de Berkovich. C'est à dire que l'espace sous-jacent était le voisinage d'un point, ou un germe de couronne (anneau de Robba). En 2010, F.Baldassarri (à la suite d'un travail commun avec L.Di Vizio) a démontré la continuité d'un invariant fondamentale de ces équations: le rayon de convergence. Il a également proposé dans des exposés plusieurs pistes de travail. En particulier il a suggéré la possibilité de démontrer la finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham des équations différentielles sur les courbes de Berkovich. Dans une suite de travaux récents en commun avec J.Poineau on a généralisé le résultat de 2010 de Baldassarri; établi des théorèmes de décompositions de nature globale; et finalement démontre la finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham. Après avoir exposé ces résultats, je parlerai d'une application récente qui fait l'objet d'un travail de prochaine parution qui montre que la formule de type Grothendieck-Ogg-Shafarevich qu'on a démontrée permet de re-démontrer la formule de Riemann-Hurwitz pour les morphismes finis entre courbes quasi lisses de Berkovich (de caractéristique nulle), un résultat conjecturé par Baldassarri, puis démontré avec des méthodes non différentiels par son élève V.Bojkovich à peu près au même temps que A.Cohen-M.Temkin-D.Trushin. D'autre part la formule de Riemann-Hurwitz peut être utilisée pour affaiblir certaines hypothèses du théorème d'indice dans certain cas. Bien que l'idée derrière cette application soit très facile à imaginer, sa preuve demande un contrôle du comportement par push-forward des rayons de convergence de l'équation et de ses exposants au bord de la courbe, ce qui est un fait hautement non trivial.