Je parlerai du travail de Claude LeBrun et Lionel J. Mason qui concerne les surfaces de Zoll, ces surfaces qui ont toutes leurs géodésiques fermées et de même longueur. L'approche de LeBrun et Mason donne un nouveau regard sur ce qu'être une surface de Zoll veut dire.
Ils associent à chaque connexion de Zoll une structure presque complexe sur une surface lisse, liant ainsi le monde de la géométrie différentielle avec le monde des structures complexes. C'est une construction que je trouve très belle et que je vais essayer de décrire.
Il s'avère que cette approche aide à trouver une nouvelle preuve du théorème de Green de 1963 : il existe une seule structure de Zoll sur le plan projectif – la structure standard de la sphère ronde, factorisée par une application antipodale.
