Random walks indexed by random trees

par M. Antoine Aurillard

lundi 16 nov. 2026, 10:30 → 12:30 Europe/Paris

Bâtiment Braconnier - Salle 112

Le jury sera composé de:

 

• Pascal Maillard, Professeur, Université de Toulouse (IMT) - Rapporteur
• David Croydon, Associate Professor, Kyoto University (RIMS) - Rapporteur
• Cyril Marzouk, Professeur assistant, Ecole Polytechnique (CMAP) - Examinateur
• Charline Smadi, Directrice de recherche, Université Grenoble Alpes (INRAE/IF) - Examinatrice
• Yueyun Hu, Professeur, Université Sorbonne Paris-Nord (LAGA) - Examinateur
• Igor Kortchemski, Directeur de recherche, Ecole normale supérieure PSL (DMA) - Directeur de thèse
• Bruno Schapira, Professeur, Université Lyon 1 (ICJ) - Directeur de thèse, invité

 

Il sera également possible de la suivre à distance via le lien suivant :

 

https://rendez-vous.renater.fr/Antoine_Aurillard_Defense_8e78a9-f5d69e-04e80c

 

Résumé:

Cette thèse porte sur les liens entre la géométrie de grands arbres aléatoires et le comportement de marches
indexées par ces arbres (appelées marches arborescentes). Dans une première partie, nous nous concentrons
sur les limites d'échelle de grands arbres. Le cas des arbres de Bienaymé est déjà bien connu : ils convergent vers
des arbres de Lévy α-stable, et α ∈ (1, 2] dicte ainsi la géométrieà grandes échelles des arbres de Bienaymé.
Nous regardons l'impact d'une opération, la rotation, sur la géométrie limite de ces arbres. Dans le cas brownien
α = 2, cette opération agit comme une dilatation, en revanche dans le cas α-stable avec α ∈ (1, 2) les arbres
obtenus par rotation convergent vers des limites d'échelle avec des caractéristiques géométriques bien différentes,
que nous étudions. Nous nous intéressons également aux limites d'échelle d'arbres dits subordonnés. A partir d'une
marche branchante critique dans Z, l'arbre subordonné associé encode simplement la généalogie des records de la
marche. Nous commençons par montrer que, dans le cas α-stable, la queue de distribution du maximum de cette
marche est asymptotiquement déterminée par celle de la hauteur de l'arbre sous-jacent. Cela nous permet de ca-
ractériser l'arbre subordonné associé comme un arbre de Bienaymé critique dans un domaine d'attraction (α+1)/2 stable,
puis d'en déduire une limite d'échelle jointe avec la marche. Nous obtenons aussi l'ordre de grandeur du nombre de re-
cords dans une telle marche branchante en fonction de α. La seconde partie de cette thèse se penche sur l'étude de la
dichotomie récurrence/transience pour des marches arborescentes centrées dans Z^d. Nous considérons d'abord des
marches indexées par des arbres finis mais conditionnés à être grands. Ces marches sont dites transientes lorsque
leur nombre de positions de Z^d visitées croît linéairement avec la taille de l'arbre, et récurrentes si cette croissance
est sous-linéaire. Lorsque les arbres sous-jacents sont D-dimensionnels, il apparaît que de manière très générale
les marches associées dans Z^d sont récurrentes dès que d < 2D. Pour étudier le cas transient, nous étendons une
approche déjà employée dans le cas des marches branchantes en associant aux marches arborescentes finies une
marche arborescente infinie. Une telle marche infinie vérifie la même dichotomie récurrence/transience que les marches
aléatoires classiques. Avec l'exemple de la rotation, nous montrons que l'apparition de la transience dès que d > 2D
est plus générale que le seul cas des marches branchantes. Finalement, nous étendons aussi la capacité branchante
associée à des marches branchantes transientes au cas α-stable.