Description
Attachés aux groupes, les invariants de remplissage homologiques constituent un raffinement quantitatif des propriétés de finitude en faisant intervenir le volume des chaînes. Au début des années 1990, Gromov et Thurston formulèrent des conjectures au sujet des invariants de remplissage de groupes, comme $\mathrm{SL}(n,\mathbf Z)$, affirmant que la géométrie d'un groupe ambiant, comme le groupe de Lie $\mathrm{SL}(n \mathbf R)$, se reflète dans ces invariants : le rang du groupe ambiant marque le seuil d'une transition entre des régimes polynomiaux et (presque) exponentiels. Ce phénomène a été progressivement confirmé par Lubotzky--Mozes--Raghunathan, Leuzinger--Pittet, Dru\c{t}u et Young notamment, aboutissant à une résolution des conjectures par Leuzinger--Young vers 2017. La polynomialité des invariants de remplissage aux degrés sous le seuil a plus récemment joué un rôle dans l'obtention d'annulations en cohomologie unitaire par Bader--Sauer. Cet exposé proposera une introduction à quelques-unes des méthodes géométriques et ergodiques de Leuzinger--Young et leurs prédécesseur-e-s, illustrée par des exemples.