Séminaire N. Bourbaki du samedi 21 novembre 2026

samedi 21 nov. 2026, 10:00 → 17:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Charles Hermite (IHP - Bâtiment Borel)

Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.

L'entrée est libre.

Exposés : 

Pierre DEHORNOY
Diversité des flots d’Anosov tridimensionnels : éléments de construction et de distinction

Bertrand RÉMY
Annulations en cohomologie unitaire et théorie géométrique des groupes, d’après Uri Bader et Roman Sauer

Javier FRESÁN
Irrationalité de L(2, χ−3), d’après Calegari, Dimitrov et Tang

Samuel TAPIE
Groupes fondamentaux des variétés compactes à courbure de Ricci positive, d’après E. Bruè, A. Naber et D. Semola

 

10:00 → 11:00 Pierre Dehornoy : Diversité des flots d'Anosov tridimensionnels : éléments de construction et de distinction

Au carrefour de la dynamique et de la topologie, les flots d’Anosov sur les $3$-variétés constituent une classe fondamentale de systèmes dynamiques. À équivalence orbitale près, l'espace de ces flots sur une variété donnée forme un ensemble au plus dénombrable.

La compréhension globale de ces objets s'articule autour de trois problématiques : l'existence (quelles $3$-variétés admettent un flot d’Anosov ?), l'abondance (une variété peut-elle admettre un nombre arbitrairement grand de flots distincts ?) et la surabondance (peut-elle en admettre une infinité ?). Bien que le problème de l'existence résiste encore à une classification complète, des travaux récents ont apporté des réponses positives à la question de l'abondance, tout en établissant des théorèmes de finitude excluant la surabondance dans de nombreux cas.

Cet exposé dressera un panorama de ces développements récents, en articulant les techniques de construction et les obstructions. Un rôle central y est joué par l'espace des orbites du flot relevé au revêtement universel. Son étude a récemment permis à Barthelmé, Frankel et Mann de prouver qu'un flot d’Anosov est uniquement déterminé, à équivalence orbitale près, par l'ensemble des classes de conjugaison du groupe fondamental représentées par des orbites périodiques. Ce résultat fournit un outil de distinction fondamental.

At the crossroads of dynamics and topology, Anosov flows on 3-manifolds constitute a fundamental class of dynamical systems. Up to orbital equivalence, a given manifold supports at most countably many such flows.

The global understanding of these objects centers on three core questions: existence (which 3-manifolds admit an Anosov flow?), abundance (can a manifold admit an arbitrarily large number of distinct flows?), and overabundance (can it admit infinitely many?). While a complete classification for existence remains elusive, recent breakthroughs have answered the question of abundance in the affirmative, while establishing finiteness theorems that rule out overabundance in many contexts.

This exposé provides an overview of these recent developments, bridging novel construction techniques with topological obstructions. A central role is played by the space of orbits of the flow lifted to the universal cover. The study of this space recently enabled Barthelmé, Frankel, and Mann to prove that an Anosov flow is uniquely determined, up to orbital equivalence, by the set of conjugacy classes in the fundamental group represented by periodic orbits. This landmark result provides a powerful tool for distinguishing flows.

11:00 → 11:30 Pause

11:30 → 12:30 Samuel Tapie : Groupes fondamentaux des variétés compactes à courbure de Ricci positive, d'après E. Bruè, A. Naber et D. Semola

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne complète. Si les courbures sectionnelles de~$g$ sont toutes positives ou nulles, il découle du théorème de Cheeger--Gromoll (1972) que le groupe fondamental $\pi_1(M)$ est de type fini et virtuellement abélien.

Supposons seulement que $(M,g)$ a sa courbure de Ricci positive ou nulle. Milnor a montré en 1968 que tous les sous-groupes de type fini de $\pi_1(M)$ sont à croissance polynomiale et donc virtuellement nilpotents par le théorème de Gromov (1981). Réciproquement, Wei (1988) et Wilking (2000) ont montré que tout groupe de type fini virtuellement nilpotent peut se réaliser comme le groupe fondamental d'une variété complète à courbure de Ricci positive ou nulle.

Milnor avait conjecturé que $\pi_1(M)$ est toujours de type fini sous cette hypothèse d'une courbure de Ricci positive ou nulle. L'objectif principal de cet exposé est de présenter un contre-exemple à cette conjecture introduit par Bruè--Naber--Semola : il existe sur $\widetilde M = \mathbb S^3 \times \mathbb R^4$ une métrique riemannienne à courbure de Ricci positive ou nulle qui admet une action isométrique sans point fixe du groupe $\mathbb Q / \mathbb Z$. La construction repose sur un processus itératif délicat, qui donne asymptotiquement à $\widetilde M$ une forme « fractale ».

Let $(M,g)$ be a complete Riemannian manifold. If the sectional curvatures of $g$ are non-negative, the Cheeger--Gromoll theorem (1972) shows that the fundamental group $\pi_1(M)$ is a finitely generated virtually Abelian group.

Suppose now that only the Ricci curvature of $(M,g)$ is non-negative. Milnor proved in 1968 that the finitely generated subgroups of $\pi_1(M)$ have polynomial growth and are thus virtually nilpotent by Gromov theorem (1981). Conversely, Wei (1988) and Wilking (2000) showed that any finitely generated virtually nilpotent group can be realized as the fundamental group of a complete Riemannian manifold whose Ricci curvature is non-negative.

Milnor conjectured that $\pi_1(M)$ is always finitely generated when the Ricci curvature is non-negative. The main goal of this exposé is to present a counter-example to Milnor's conjecture that was introduced by
Bruè--Naber--Semola: on $\widetilde M = \mathbb S^3 \times \mathbb R^4$ there exists a Riemannian metric with non-negative Ricci curvature admitting a fixed point free isometric action of the group $\mathbb Q / \mathbb Z$. The construction relies on an intricate iterative process that asymptotically gives to $\widetilde M$ ``fractal'' form.

12:30 → 14:30 Pause déjeuner

14:30 → 15:30 Javier Fresán : Irrationalité de $L(2, \chi_{-3})$, d'après Calegari, Dimitrov et Tang

Je présenterai des idées récentes de Calegari, Dimitrov et Tang pour établir l'irrationalité de certaines périodes. Ils démontrent notamment que la valeur de la fonction $L$ de Dirichlet $L(2, \chi_{-3})= 1-1/4+1/16-1/25+1/49-\cdots$ est irrationnelle, et même que les nombres $1$, $\zeta(2)$ et $L(2, \chi_{-3})$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$. Un aspect remarquable de leur méthode est qu’elle ne nécessite pas la construction de nouvelles approximations rationnelles convergeant rapidement vers ces nombres. Elle repose plutôt sur des bornes supérieures pour les dimensions d’espaces vectoriels engendrés par certaines fonctions $G$ dont les coefficients possèdent des dénominateurs contrôlés. Les travaux de Bost et Charles fournissent une interprétation de ces « bornes d’holonomie arithmétique » en termes de la méthode des pentes en géométrie d’Arakelov, et constituent un ingrédient clé pour obtenir des estimations suffisamment fortes pour les applications à l’irrationalité.

I will discuss ideas recently introduced by Calegari, Dimitrov, and Tang to obtain new irrationality results for certain periods. They notably prove that the Dirichlet $L$-value $L(2, \chi_{-3})= 1-1/4+1/16-1/25+1/49-\cdots$ is irrational, and even that the numbers $1$, $\zeta(2)$, and $L(2, \chi_{-3})$ are linearly independent over $\mathbf{Q}$. A remarkable feature of their method is that it does not require constructing new rapidly convergent rational approximations to these numbers. Instead, it relies on upper bounds for the dimensions of vector spaces generated by certain $G$-functions whose coefficients have controlled denominators. Work of Bost and Charles interprets these ``arithmetic holonomy bounds'' in terms of the slopes method in Arakelov geometry, and this perspective turns out to be a key ingredient in obtaining bounds strong enough to yield irrationality.

15:30 → 16:00 Pause

16:00 → 17:00 Bertrand Rémy : Annulations en cohomologie unitaire et théorie géométrique des groupes, d'après Uri Bader et Roman Sauer

La cohomologie à valeurs dans des représentations unitaires a de multiples applications en-dehors de la pure théorie des groupes : en arithmétique et en géométrie notamment. La situation où le groupe considéré est un groupe de Lie, et celle où c’est un groupe discret, sont liées (par induction) quand ce dernier est un réseau d’un groupe de Lie. Classiquement, on passe ainsi de calculs de cohomologie de groupes discrets à des calculs de cohomologie à coefficients unitaires pour des groupes de Lie semi-simples. Les coefficients sont plus gros mais le groupe ambiant a une structure bien comprise, qui rigidifie la situation ; au moyen de réductions supplémentaires, on est ramené à des calculs de cohomologie relative d’algèbres de Lie (Borel et Wallach). Les travaux de Bader et Sauer permettent de se passer de l’hypothèse de cocompacité des réseaux et fournissent, entre autres, des résultats d’annulation jusqu’au rang du groupe de Lie ambiant. Les techniques utilisées reposent sur une combinaison d’algèbre homologique et d’analyse fonctionnelle, ainsi que sur l’usage inédit d’ingrédients de théorie géométrique des groupes.

Cohomology with unitary coefficients has many applications apart from the field of group theory, e.g. in number theory and in geometry. The situation where the group under consideration is a Lie group and the situation where the group is discrete are related (by induction) when the discrete group is a lattice in a Lie group. Classically, one goes from computing the cohomology of a discrete group to computing the cohomology with unitary coefficients of a semisimple Lie group. The coefficients are bigger but the ambient group has a well understood structure making the situation more rigid; by means of additional reductions, one is reduced to computing some relative Lie algebra cohomology spaces (Borel and Wallach). The work of Bader and Sauer enables one to get rid of the cocompactness condition and provides, among other things, vanishing results up to the rank of the ambient Lie group. The techniques they use rely on a combination of homological algebra and functional analysis, as well as original ingredients from geometric group theory.