Une algèbre (non nécessairement associative ou unifère) sur un corps est dite de composition si elle est munie d'une forme quadratique multiplicative non dégénérée. Les quaternions et les octonions en font des exemples classiques. Les algèbres de composition apparaissent par exemple dans la construction des groupes exceptionnels. Remarquablement, leur dimension, si finie, est 1, 2, 4 ou 8.
En dimension 8, le problème de classification des algèbres de composition est toujours ouvert, même sur le corps des réels. Je vais parler de quelques approches au problème, qui utilisent les groupoïds des transformations, la théorie des représentations des algèbres de Lie, et les automorphismes des schémas en groupes affines. Les octonions et le phénomène de trialité, lié à eux, y sont omniprésents.
