Dans de nombreuses situations, l’ajout d’un terme de bruit à une équation déterministe améliore le comportement du système. Cela peut prendre plusieurs formes, comme le rétablissement du caractère bien posé d’équations mal posées dans le cadre déterministe, ou encore l’amélioration des propriétés de régularité et de stabilité des solutions. Ce phénomène, appelé « régularisation par le bruit »,...
We study the renormalisation of singular SPDEs in the flow approach recently
developed by Duch. After giving a smooth introduction to the
method, we will give a general ansatz based on decorated trees for the solution of the
flow equation. The ansatz is renormalised in an inductive way, in the sense of the trees, via local extractions introduced for regularity structures. We derive the...
La théorie de Yang–Mills quantique décrit les interactions élémentaires à l’aide d'intégrales sur des espaces de dimension infinie, courbés et peu structurés. La construction rigoureuse de la mesure permettant de donner sens à ces intégrales demeure un défi mathématique majeur. Si aucune construction n’est connue à ce jour dans le cas d’un espace-temps de dimension 3 ou 4, le cas de la...
Deriving macroscopic evolution equations from interacting particle systems is a classical problem in mathematical physics. In the mean-field regime, such systems are expected to converge, as the number of particles tends to infinity, to solutions of nonlinear Fokker-Planck equations.
One particular challenge is to establish whether this convergence holds uniformly in time, especially for...
Multifractal random measures, and in particular the one arising from the theory of Gaussian multiplicative chaos, are known to model the intermittency phenomenon in turbulence. In the Lagrangian setting, the latter can be approximated by an integrated Riemann-Liouville fractional Brownian motion when the Hurst parameter goes to zero. Using the functional Itô formula and the path-dependent...