Antoine Velut : "Groupes fondamentaux de cônes asymptotiques de groupes de Lie avec l'obstruction SOL"

mardi 6 janv. 2026, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

On s'intéresse ici à la géométrie à grande échelle des groupes de Lie résolubles. Plus précisément, on étudie le groupe fondamental du cône asymptotique, qui est un invariant de quasi-isométrie, et qu'on teste en pratique en construisant des suites de lacets de plus en plus longs. Celui-ci est fortement relié à un autre invariant mesurant la difficulté de remplissage des lacets, la fonction de Dehn. 

Une condition algébrique sur le groupe, appelée l'obstruction SOL, est connue pour impliquer la croissance exponentielle de la fonction de Dehn, ce qui implique qu'au moins un cône asymptotique n'est pas simplement connexe. Il s'agira ici de montrer que l'obstruction SOL implique que tous les cônes asymptotiques ont un "très grand" groupe fondamental, au sens où ce dernier contient le groupe fondamental des boucles d'oreilles hawaïennes.

 

Ce sera l'occasion de décrire un peu de géométrie des groupes de Lie résolubles, afin de motiver leur étude. Contrairement aux groupes semi-simples qui sont classés par des invariants discrets, ces derniers forment des continuum de classes d'isomorphisme, et même de quasi-isométrie.

On verra que certains, les groupes de Heintze et de Azencott-Wilson, ont des propriétés de courbure négative et forment une généralisation des espaces symétriques, et sont très différents des groupes avec l'obstruction SOL.

On a tout de même des estimées de longueurs pour un grand nombre de groupes de Lie résolubles, et on en donnera la preuve de manière très élémentaire.