Etude mathématique et numérique d’un modèle de navigation dans des eaux stratifiées

• Morgan Pierre (Poitiers)

Room: Salle de Conférences Lors de la navigation dans des eaux stratifiées, des ondes peuvent apparaître à l'interface entre deux couches de fluide de densités différentes. Ces ondes, appelées ondes internes, se propagent et peuvent influencer les performances du bateau en générant une résistance à son avancement, connue sous le nom d'eaux mortes. Le phénomène est modélisé par un système linéaire d'équations aux dérivées partielles résolu dans l'espace de Fourier. Nous étudions ce système avec un terme d'amortissement et nous proposons un schéma numérique accompagné de simulations. En particulier, nous mettons en évidence l'existence d'une vitesse critique de navigation. Un problème de contrôle optimal associé au problème sera également proposé.

Polar vortex crystals

• Martin Donati (Poitiers)

Room: Salle de Conférences De la turbulence peut émerger de grands tourbillons qui s'organisent naturellement de manière stable. Nous étudierons la configuration la plus simple de ces structures : des tourbillons identiques disposés régulièrement autour d'un tourbillon central. Nous passerons en revue des résultats de stabilité concernant la dynamique de ces tourbillons, et en particulier des résultats de déformation visqueuse, et de confinement de vorticité dans le cas non visqueux, dans le plan et sur la sphère tournante. Un des objectifs est de discuter des tourbillons polaires de Jupiter qui présentent des structures de ce type.

Collocation-based model order reduction: analysis and application

• Alessia del Grosso (Bordeaux)

Room: Salle de Conférences We consider a novel reduced-order modeling strategy, termed collocation Model Order Reduction (cMOR), as an alternative to classical projection-based Model Order Reduction (pMOR). Like pMOR, cMOR follows an offline-online paradigm, with an offline stage devoted to the construction of a reduced basis from solution snapshots. In contrast to pMOR, where the online phase computes the reduced solution by projecting the high-fidelity residual onto the reduced space, cMOR enforces the high-fidelity discretization of the governing equations only at a small set of mesh locations, referred to as collocation points. These points are selected using hyper-reduction techniques. Within this framework, we provide a theoretical analysis of the stability and convergence properties of cMOR and illustrate the method performance through numerical examples.

Séries aléatoires de fonctions propres dans $L^\infty$

• Rafik Imekraz (La Rochelle)

Room: Salle de Conférences On se propose d'expliquer l'historique de la théorie des séries aléatoires de fonctions propres (concernant l'étude de leur convergence uniforme) depuis les travaux de Paley-Zygmund (1930) jusqu'à des développements récents dont certains de l'orateur en collaboration avec Mickaël Latocca (Evry) sur l'oscillateur harmonique multidimensionnel. Une attention particulière sera portée sur : - les "pseudo-distances de Dudley" qui contiennent, de façon cachée, la clé pour comprendre les processus gaussiens associés aux séries aléatoires considérées, - et les fonctions spectrales d'opérateur elliptique (Laplace-Beltrami ou oscillateur harmonique).

Speed of propagation for solutions of the Boson star equation

• Viviana Grasselli (Metz)

Room: Salle de Conférences In this talk we will consider the mean-field approximation of a boson star, which is composed of a large number of gravitating bosons interacting with each other. The resulting equation is nonlinear of Schrödinger type and with a non-local convolution potential. After briefly discussing the existence of a solution, we will then present some of its dynamical properties. Indeed, since the equation is dispersive, the support of the solution spreads out in space and we will derive properties that describe how this spreading happens, in particular regarding the speed of propagation of the support. These results are a joint work with Sébastien Breteaux and Jérémy Faupin.

Spectral theory for differential operators with singular potentials

• Jussi Behrndt (Graz)

Room: Salle de Conférences In this talk, we discuss qualitative spectral properties of self-adjoint Schrödinger and Dirac operators. We first briefly review some of the standard results for regular potentials from the literature and turn to more recent developments afterwards. Our main objective in this lecture is to discuss differential operators with singular potentials supported on curves or hyperplanes, where in the case of Dirac operators it is necessary to distinguish the so-called non-critical and critical cases for the strength of the singular perturbation. In particular, it turns out that Dirac operators with singular potentials in the critical case have some unexpected spectral properties. This talk is based on joint some recent works with P. Exner, M. Holzmann, V. Lotoreichik, T. Ourmieres-Bonafos, and K. Pankrashkin.

Une étude sur des EDP impliquant le $p$-Laplacien fractionnaire

• Guillaume Warnault (Pau)

Room: Salle de Conférences Dans cette exposé, nous étudierons des équations elliptiques et paraboliques impliquant le $p$-Laplacien fractionnaire. Dans un premier temps, nous considérerons une équation doublement non-linéaire et traiterons les questions classiques : existence, unicité... Dans un second, nous étudierons une équation de type logistique pour laquelle le le $p$-Laplacien fractionnaire apporte un résultat différent des opérateurs locaux comme le Laplacien.

On the Fisher infinitesimal model without variability

• Cécile Taing (Poitiers)

Room: Salle de Conférences We study the long-time behavior of solutions to a model of sexual populations structured in phenotypes. The model features a nonlinear integral reproduction operator derived from the Fisher infinitesimal operator and a linear trait-dependent selection term. The reproduction operator describes here the inheritance of the mean parental traits to the offspring without variability. First, we show that, under assumptions on the growth of the selection rate, Dirac masses are stable around phenotypes for which the difference between the selection rate and its minimum value is less than 1/2. Then, we prove the convergence in some Fourier-based distance of the centered and rescaled solution to a stationary profile under some conditions on the initial moments of the solution. The use of the Fourier-distance for probability measures has been inspired from the work of Lorenzo Pareschi and Giuseppe Toscani in 2006 for kinetic models of Boltzmann-Maxwell type. This work has been done in collaboration with Amic Frouvelle (Université Paris Dauphine).

Analyse des schémas LBM: BGK, MRT et projetés en D2Q9 et D2Q13 : équilibres visqueux et stabilité numérique.

• Mahdi Tekitek (La Rochelle)

Room: Salle de Conférences Ce travail est structuré en deux parties. La première partie porte sur l’analyse de l’influence du choix de l’équilibre des moments visqueux dans différents schémas D2Q9. Cette étude est menée sur le cas test du double vortex, avec une comparaison systématique aux résultats obtenus par des méthodes pseudo-spectrales. La seconde partie propose une première présentation du schéma D2Q13 projeté et de sa stabilité.

Ground states, orbital stability and Lagrange multiplier: examples and open problems

• Mathieu Colin (Bordeaux)

Room: Salle de Conférences The aim of this talk is to present some open problems concerning the orbital stability of ground states for some Schrödinger type systems and non-local formulations. We aim to address the problem of Lagrange multipliers which appears when one wants to minimize an energy functional under constraints. We will illustrate our discussion with some concrete examples.

Décomposition de Hodge-Helmholtz discrète et schéma numérique préservant une contrainte de type curl/div. Application aux écoulements compressibles à bas nombre de Mach.

• Jonathan Jung (Pau)

Room: Salle de Conférences La décomposition de Hodge–Helmholtz permet de représenter un champ de vecteurs comme la somme d’une composante à divergence nulle et d’une composante à rotationnel nul. Dans le cadre d’un système linéaire d’ondes du premier ordre, nous mettrons en évidence le lien entre cette décomposition et la préservation de la vorticité. La question de l’existence d’une telle décomposition au niveau discret, pour un espace d’approximation donné, se pose alors naturellement. Elle permet notamment d’expliquer pourquoi le schéma de Godunov préserve la vorticité sur maillage triangulaire, mais pas sur maillage quadrangulaire. En nous appuyant sur la compréhension du cas triangulaire, nous développerons un schéma de volumes finis préservant la vorticité sur maillage quadrangulaire. Enfin, nous nous intéresserons aux écoulements compressibles à faible nombre de Mach. Nous expliciterons le lien avec le système des ondes et montrerons comment concevoir un schéma numérique précis à bas nombre de Mach au sens où il permet de capturer la limite incompressible lorsque le nombre de Mach tend vers zéro.

Méthodes variationnelles de Trefftz itératives pour la résolution de systèmes hyperboliques linéaires

• Sébastien Tordeux (Pau)

Room: Salle de Conférences L’objet de cet exposé est de présenter les méthodes variationnelles de Trefftz, introduites à l’origine par Cessenat et Després. Il s’agit de méthodes numériques de type Galerkin discontinu dont les fonctions de base sont des solutions de l’équation aux dérivées partielles sous-jacente que l’on cherche à résoudre numériquement. Nous expliquerons le cadre théorique qui garantit leur convergence. Ces méthodes peuvent être résolues de manière itérative et définissent ainsi une méthode de décomposition de domaine. Cela réduit drastiquement leur coût mémoire, puisqu’il n’est plus nécessaire de recourir à une décomposition LU. Cependant, elles sont affectées par des erreurs d’arrondi, ce qui a fortement limité leur utilisation pour des problèmes tridimensionnels Une nouvelle perspective sur ces méthodes sera proposée dans le contexte des problèmes hyperboliques linéaires. Cela inclut une grande variété de systèmes d’équations aux dérivées partielles, tels que les systèmes acoustiques, élastiques et de Maxwell, éventuellement hétérogènes et anisotropes. En rappelant la théorie de Friedrichs et Rauch, nous expliquerons comment définir des conditions aux limites générales pour ce type de problème aux limites. Nous montrerons également comment ces méthodes variationnelles peuvent être modifiées afin de limiter l’impact des erreurs d’arrondi. Deux techniques alternatives seront présentées : une méthode de filtrage et une modification des fonctions de base.