Quand les petits points ont leurs bonnes raisons

par Sara Checcoli (Institut Fourier)

mardi 25 nov. 2025, 15:00 → 15:50 Europe/Paris

Salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)

Exposé dans le cadre des Journées Diophantiennes.

La hauteur d’un nombre algébrique est une fonction à valeurs réelles qui mesure la complexité arithmétique du nombre. Si les nombres de hauteur nulle sont bien compris, de nombreuses questions restent ouvertes concernant les nombres de petite hauteur. Par exemple, une question centrale consiste à savoir si une extension algébrique infinie donnée des rationnels contient des nombres de hauteur arbitrairement petite (et non nulle).

Cet exposé portera sur des situations où la réponse est positive et, en particulier, sur la question suivante : dans les corps où l’on peut évidemment trouver des petits points, ces points ont-ils toujours de bonnes raisons d’être petits ?
Par exemple, le corps engendré sur les rationnels par toutes les racines de 2 contient des points de hauteur très petite évidents (les racines de l’unité et les racines de 2). En contient-il d’autres ? Un cas très particulier d’une conjecture de Rémond suggère que la réponse est négative. De manière plus générale, la conjecture de Rémond concerne la clôture saturée des sous-groupes de rang fini dans les tores et les variétés abéliennes définis sur des corps de nombres. Cette conjecture reste largement ouverte et généralise plusieurs problèmes importants, comme la conjecture de Lehmer. Récemment, Pottmeyer a établi une condition nécessaire pour que la conjecture soit vérifiée, et l’a démontrée dans le cas des tores.

Je présenterai un travail en collaboration avec G. A. Dill, où nous étendons ce résultat en montrant que cette condition est également satisfaite pour les variétés semi-abéliennes split.