Combinatoire des déformations quantiques de rationnels

par Perrine Jouteur (Université de Reims Champagne-Ardenne)

vendredi 23 janv. 2026, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

E2 1180 (Tours)

Les q-analogues de nombres sont issus d'une déformation des nombres entiers qui consiste à introduire une variable formelle "q", en remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu'on retrouve le nombre initial en faisant tendre q vers 1. Cette idée sous-tend par exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour aborder des problèmes combinatoires. Une bonne déformation doit ainsi respecter les propriétés structurelles de l'objet déformé. Par exemple, les coefficients binomiaux quantiques introduits par Gauss satisfont une identité de Pascal déformée.
En 2020, Sophie Morier-Genoud et Valentin Ovsienko ont proposé une q-déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière satisfaisante les propriétés combinatoires des q-entiers. On verra comment définir ces q-rationnels, en donnant trois points de vue équivalents sur cette construction, via des fractions continues, via le
graphe de Farey et via une action du groupe modulaire. Ce dernier point de vue permettra de définir une version jumelle des q-rationnels, appelée version gauche. On expliquera comment passer d'une version à l'autre en faisant agir une extension du groupe modulaire. On exposera enfin une interprétation combinatoire des rationnels quantiques en termes de posets, ce qui fera le lien avec la théorie des algèbres amassées.