Des courbes libérées !

par Emmanuel Peyre (Institut Fourier, Grenoble)

vendredi 20 févr. 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Amphi Schwartz (IMT)

La méthode la plus simple pour trouver tous les points à coordonnées rationnelles sur la lemniscate de Bernoulli d'équation

(X2+Y2)2 -X2+Y2=0

est de noter que l'ensemble des solutions est paramétré par une application t↦(F(t),G(t)) où F et G sont des fonctions rationnelles à coefficients entiers. En dimension supérieure les choses deviennent plus amusantes: si on considère la surface de révolution d'équation

Y2+Z2=2X(X2-3)

sur les nombres réels, elle a deux composantes connexes (correspondant au signe du polynôme 2X(X2-3))

et, si on peut trouver une courbe paramétrée par des fractions rationnelles qui passe par n'importe quel point de la surface, il est impossible d'en trouver une qui passe par deux points qui ne sont pas sur la même composante connexe.

Plus le nombre de conditions qu'on souhaite imposer est grand, plus il faut s'accorder de liberté sur la façon de paramétrer, c'est à dire que le degré des polynômes utilisés dans les formules devienne de plus en plus grand.

Le géométrie algébrique permet d'aller au-delà en voyant l'ensemble des courbes paramétrées comme un objet géométrique dont on peut étudier les propriétés.