Comportement en temps long des solutions du système de Vlasov-Navier-Stokes dans le tore bi-dimensionnel.

par Raphaël Danchin (Université Paris-Est Créteil)

mardi 27 janv. 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Fokko (ICJ)

Le système de Vlasov-Navier-Stokes (VNS) décrit la dynamique des aérosols (c'est-à-dire des suspensions de particules légères immergées dans un fluide). On considère ici le cas où ce fluide est incompressible et visqueux, et (VNS) est alors  un couplage entre une équation de transport cinétique pour la distribution des particules et les équations de Navier-Stokes incompressible, via un terme de rappel appelé force de Brinkman. En 2020, D. Han-Kwan, A. Moussa et I. Moyano ont démontré que dans le cas tridimensionnel avec des conditions aux limites périodiques les solutions de (VNS) proches d’un état d’équilibre et suffisamment régulières convergent  exponentiellement vite  vers cet équilibre.  Plus récemment, Han-Kwan, puis l'orateur, ont obtenu des résultats similaires dans tout l'espace mais avec  une décroissance seulement algébrique. Dans cet exposé, on s’intéresse au cas périodique en dimension deux, étudié récemment en collaboration avec L.-Y. Shou (Nanjing Normal University). Nous montrons que toutes les solutions d'énergie finie  convergent vers un état monocinétique explicite. Lorsque la distribution initiale des particules est grande, le taux de convergence est seulement algébrique et est d’autant plus mauvais que la norme uniforme est grande. Mais lorsque celle-ci est suffisamment petite, la convergence devient exponentielle, même si l’énergie initiale est grande. Des résultats similaires sont vrais dans le cas où le fluide environnant est non homogène, même si la densité du fluide est seulement bornée, pourvu qu’elle soit strictement positive.