g-Modules de type fini sur U(h) et familles cohérentes

by Mr Eduardo Monteiro Mendonça

Monday Jul 7, 2025, 3:00 PM → 5:00 PM Europe/Paris

Bâtiment Braconnier, Salle 112

Le jury sera composé de :

• M. Olivier MATHIEU, Directeur de recherche au CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, Directeur de thèse
  - M. Adriano Adrega MOURA, Universidade Estadual de Campinas (Brésil), Rapporteur,
  - M. Laurent RIGAL, Université Paris Nord, Rapporteur,
  - M. Nicolas ANDRIUSKEWTISCH, Universidad Nacional de Córdoba et membre de l'Académie nationale des sciences (Argentine), Examinateur,
  - Mme Dessislava Hristoc KOCHLOUKOVA, Universidade Estadual de Campinas et membre de l'Académie nationale des sciences (Brésil), Examinatrice,
  - Mme Lucia Satie IKEMOTO, Universidade de São Paulo (Brésil), Examinatrice,
  - M. Philippe MALBOS, Université Claude Bernard Lyon 1, Examinateur.

 

Résumé :

Cette thèse étudie la relation entre deux catégories de représentations d'une algèbre de Lie simple de dimension finie g : la catégorie admW des modules de poids admissibles, constituée de g-modules sur lesquels une sous-algèbre de Cartan fixe h agit semi-simplement avec des espaces de poids de dimension uniformément bornée ; et la catégorie frkA des g-modules U(h)-finis, constituée de modules de type fini sur U(h), l'algèbre enveloppante universelle de h.

Nous établissons que les objets des deux catégories admW et frkA ont une dimension de Gelfand-Kirillov bornée par le rang de g. En conséquence, nous prouvons que frkA partage plusieurs propriétés structurelles avec admW, telles que la longueur finie de ses objets, une décomposition en blocs correspondant aux caractères centraux généralisés, et l'existence d'objets de dimension infinie uniquement lorsque g est de type A ou C.

Le foncteur de pondération W, qui associe à un module U(h)-fini un module de poids admissible, fournit un autre lien entre ces catégories. En étudiant W et ses foncteurs dérivés à gauche, nous transférons des propriétés des modules de poids admissibles simples à frkA. En particulier, nous prouvons que les modules U(h)-finis simples de dimension infinie sont sans torsion sur U(h) et localement libres en tout idéal maximal de U(h), sauf pour un nombre fini d'entre eux. Nous introduisons la notion de presque équivalence pour les modules de poids et montrons que, si M \in frkA est simple de dimension infinie, alors W(M) est presque équivalent à un nombre fini de copies, appelé la multiplicité-cohérente, d'une unique famille cohérente semi-simple irréductible — une classe de modules introduite et classifiée par Mathieu (2000). En utilisant ce cadre, nous classifions les modules U(h)-finis simples de cohérente-multiplicité un, à l'exception de ceux ayant un caractère central régulier lorsque g = sl(n+1) pour n >= 3.

Enfin, pour chaque entier positif m, nous construisons une famille de sl(n+1)-modules simples de multiplicité-cohérente m. De plus, nous montrons que tout module U(h)-fini avec une multiplicité-cohérente supérieure à un ne peut pas être un module de poids par rapport à aucune sous-algèbre de Cartan h' de g.