Géométrie des modules d'écheveaux aux racines de l'unité

by Julien Korinman

Tuesday Jun 24, 2025, 11:15 AM → 12:15 PM Europe/Paris

Les modules d'écheveaux S_A(M) sont des espaces vectoriels associés à une 3 variété M et un nombre complexe non nul A. Leur définition, très simple, est inspirée de celle du polynôme de Jones des noeuds et entrelacs (et de sa variante par Kauffman) et est purement topologique. Lorsque le paramètre A=+1, ces modules ont une structure naturelle d'algèbres commutatives dont le spectre s'interprète géométriquement comme le schéma des caractères SL2 de M: un objet algébro-géométrique bien connu et possiblement singulier ou non réduit.

L'intérêt principal de ces modules d'écheveaux tient au fait que lorsque A est une racine de l'unité, ces espaces forment des briques de bases d'objets algebro-topologiques appelés TQFTs. Une découverte importante de Bonahon et Wong est qu'aux racines de l'unité, ces espaces ont une structure de module sur l'algèbre d'écheveaux en A=+1; ces modules s'interprètent donc comme les sections globales de faisceaux quasi-cohérent sur la variété des caractères. Le résultat principal de mon exposé est que lorsque M est sans bord, ces faisceaux sont des fibrés en droites. La preuve passe, en autre, par l'étude de la géométrie de Poisson des limites classiques des algèbres d'écheveaux des surfaces.