Alternative de Tits dynamique pour groupes de presque-automorphismes d'arbres

by Martin Gilabert (ICJ)

Monday May 12, 2025, 10:30 AM → 11:30 AM Europe/Paris

Fokko Du Cloux (ICJ)

L'alternative de Tits est un résultat célèbre de J. Tits qui affirme une dichotomie forte pour les groupes linéaires : tout groupe linéaire sur un corps de caractéristique zéro est virtuellement résoluble ou contient un groupe libre non abélien. Le même théorème reste vrai pour une liste énorme de groupes, mais non pas pour de nombreux exemples de groupes "non-linéaires" qui apparaissent naturellement comme groupes d'homéomorphismes d'espaces compacts. Une alternative plus faible mais encore significative est la suivante : un groupe G agissant sur un espace compact X satisfait l'alternative de Tits dynamique si tout sous-groupe H de G preserve une mesure de proba sur X ou contient deux éléments qui "jouent au ping-pong" dans X. Par exemple, cette alternative est vraie pour le groupe de homéomorphismes du cercle, les groupes hyperboliques agissant sur leur bord de Gromov et certains groupes d'homéomorphismes de l'espace de Cantor.

On montre que les groupes de presque-automorphismes d'arbres satisfont l'alternative de Tits dynamique. Il s'agit d'une famille de groupes localement compacts totalement discontinus qui agissent naturellement sur le bord d'un arbre enraciné. Pour l'arbre binaire, ce groupe fut introduit par Neretin dans les années 90, et il est intéressant du point de vue de la théorie de groupes puisqu'il satisfait toutes les renforcements connus de la notion de simplicité.

On ne parlera pas des détails de la preuve, et on insistera plus sur (1) la définition des termes utilisés dans les paragraphes précédents et (2) les motivations et le contexte autour du résultat.