Description
Dans cet exposé, nous donnerons une nouvelle borne par au-dessus du coût du contrôle en temps petit pour l'équation de Schrödinger 1D contrôlée au bord, qui améliore significativement la littérature actuelle sur le sujet.
Après avoir contextualisé le problème et présenté le résultat principal, je ferai une assez longue digression sur le théorème des multiplicateurs de Beurling et Malliavin (BM1) , ainsi que sur une preuve récente, très éclairante, basée sur la transformée de Hilbert.
J'expliquerai comment cette preuve permet d'obtenir, dans certains cas particuliers, une version complètement quantitative de BM1. Nous donnerons notamment des éléments de preuve dans le cas d'un points très particulier, d'intérêt pour le problème considéré.
Nous reviendrons pour finir au problème de contrôle : la méthode des moments permettra de ramener la question à la question classique d'analyse complexe suivante. On a une fonction entière avec des zéros imposés, qui croit très fortement sur l'axe réel, et on souhaite la multiplier par un poids qui permette de la rendre L^2 sur l'axe réel, et de telle sorte que la transformée de Fourier du produit soit à support aussi petit que voulu. On pourra alors faire le lien avec BM1 et conclure.
