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Motivé par des questions de contrôlabilité, on étudie le problème de prolongement unique suivant : une solution de l'équation de Schrödinger qui s'annule sur un tout petit ouvert pendant un tout petit intervalle de temps est-elle identiquement nulle ?
Dans le cas où l'opérateur de Schrödinger fait intervenir un potentiel, nous verrons que la réponse à cette question dépend de la régularité de ce dernier.
Nous présenterons un résultat supposant que le potentiel est de classe Gevrey 2 en temps, relaxant dans ce contexte l'hypothèse d'analyticité du théorème de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Spyridon Filippas et Camille Laurent.