Résolution en solitons à l'explosion pour l'équation semi-linéaire des ondes avec exposant sous conforme

by Hatem Zaag

Friday Mar 28, 2025, 5:00 PM → 6:00 PM Europe/Paris

Amphithéâtre Charles Hermite (IHP - Bâtiment Borel)

On considère l'équation semi-linéaire des ondes avec une non-linéarité en puissance dans le régime
sous-conforme. L'existence de solutions explosives découle des techniques classiques d'énergie ou
d'équations différentielles ordinaires (EDO). Étant donnée une solution explosive arbitraire, grâce à la
vitesse finie de propagation, on peut facilement voir que le temps d'explosion dépend de l'espace. On le
note alors à l'aide d'une fonction $T(x)$ uniformément lipschitzienne. Dans cet exposé, on s'intéresse au
comportement asymptotique de la solution autour d'un point singulier donné $(x_0,T(x_0))$.
En dimension un, cette question est entièrement résolue, conformément à la célèbre « conjecture de
résolution en solitons ». En effet, localement autour de chaque $x_0$, la solution se rapproche d'une somme
finie de « solitons » découplés, qui sont des solutions auto-similaires explicites. La preuve repose de
manière cruciale sur l'existence d'une fonctionnelle de Lyapunov en variables auto-similaires.

En dimension supérieure, la situation est plus délicate, en raison de l'absence d'une classification
complète de toutes les solutions auto-similaires dans l'espace d'énergie. Néanmoins, nous obtenons certains
résultats surprenants, comme une configuration à 4 solitons en dimension 2, où le graphe d'explosion prend
localement la forme d'une pyramide.

On évoquera également certaines généralisations de ces résultats en dehors du cas d'une simple non-linéarité
en puissance.