Description
Le parcours des électrons dans un semi-conducteur peut, dans certaines situations, être modélisé par les équations hydrodynamiques de la mécanique des fluides. C’est dans ce contexte que l’on s’intéresse aux équations de Navier-Stokes Quantique (NSQ). Il s’agit d’un système d’équations aux dérivées partielles d’ordre 3, ce qui en rend la résolution numérique difficile, notamment pour assurer la préservation de certaines propriétés physiques des solutions. Une approche régulièrement proposée dans la littérature est de transformer le système afin de réduire son ordre. Dans cette présentation, j’introduirai une explication physique des équations NSQ, puis je présenterai deux schémas de résolution sur grille cartésienne. Le premier assure la décroissance de l’entropie discrète. Pour cela, le système est reformulé de façon adaptée pour permettre la mise en place d’un schéma de splitting en temps. Celui- ci consiste en la résolution d’une partie hyperbolique par une méthode de volumes finis explicite en temps, suivie de la résolution d’une partie parabolique par une méthode de différences finies implicite en temps. Un second schéma totalement implicite permet de prendre en compte un potentiel électrique supplémentaire tout en respectant la décroissance de l’énergie, permettant la simulation de cas physiques tel que celui d’une diode à tunnel résonnant.
