Intégration symbolique sur un feuilletage du plan

par Thierry Combot (Université de Dijon)

vendredi 28 mars 2025, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

On considère une équation différentielle $y^{\prime }=F(x,y)$ avec $F$ rationnel. Les solutions de cette équation définissent un feuilletage du plan $\mathcal{F}$, et l'on supposera que $\mathcal{F}$  n'est pas algébrique., On va considérer une intégrale ${\int }_{\mathcal{F}}G(x,y)dx$ où $G$ est rationnel, et l'intégrale est calculée le long des feuilles de $\mathcal{F}$. De façon équivalente, on peut écrire $I(x,h)=\int G(x,y(x,h))dx$ où $y(x,h)$ est une famille de solutions de $y^{\prime }=F(x,y)$ dépendant (transversalement) d'un paramètre $h$. On montrera que si $I(x,h)$ est différentiellement algébrique en $x,h$, alors, avec une bonne paramétrisation en $h$, $I(x,h)$ satisfait une équation différentielle linéaire en $h$ de la forme $LI=(\partial y(x,h){)}^{\ell }H(x,y(x,h))$ où $L\in \mathbb{C}[{\partial }_h]$ est à coefficients constants. On présentera ensuite un algorithme pour trouver une telle équation jusqu'à une borne donnée sur l'ordre de $L$ et le degré de $H$. Dans le cas particulier des feuilletages $y=\ln x+h$ et $\ln y=\alpha \ln x+h$, nous présenterons un algorithme permettant de décider l'existence d'une telle équation.

Si possible, nous aborderons la question de savoir pour quels feuilletages $\mathcal{F}$ il existe des intégrales $I(x,h)$ différentiellement algébriques non élémentaires, ainsi que les généralisations possibles en dimension supérieure.