Le problème de Lüroth demande si tout corps K avec C ⊂ K ⊂ C(x1,..., xn) est de la forme C(y1,..., yp). En termes géométriques, si une variété algébrique peut être paramétrée par des fonctions rationnelles, peut-on trouver un tel paramétrage qui soit essentiellement bijectif?
C'est le cas pour les courbes (Lüroth, 1875) et les surfaces (Castelnuovo, 1894); après pas mal de tentatives infructueuses, trois contre-exemples différents ont été trouvés en 1971. Je raconterai l'histoire mouvementée du sujet, puis je décrirai brièvement les 3 méthodes; j'expliquerai qu'elles donnent une réponse satisfaisante en dimension 3, mais seulement des exemples très particuliers en dimension plus grande. Puis je discuterai une nouvelle idée de C. Voisin qui a considérablement amélioré la situation.
