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• Sebastien Maronne (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Table Ronde "Les manuscrits mathématiques d'Alexandre Grothendieck" (Grothendieck)

• Sebastien Maronne (Institut de Mathématiques de Toulouse)
• Bertrand Toen

Les milliers de pages mathématiques écrites par Alexandre Grothendieck entre son arrivée comme professeur à l’université de Montpellier en 1973 et son départ pour le village de Lasserre en Ariège en 1991 constituent autant de traces des recherches qu’il accomplit durant cette période. Dans cette table ronde, nous suivrons des fragments d’itinéraire de cette exploration mathématique en présentant quelques uns des manuscrits qu'on peut consulter sur le site des Archives Grothendieck de l'université de Montpellier. Ce sera en particulier l'occasion de revenir sur le projet de publication des Réflexions mathématiques ainsi que sur le style d'écriture et de création mathématique de Grothendieck, dans leur rapport avec le passé.

Sur l'algèbre catégorique et homotopique (1) (Algèbre catégorique et homotopique)

• Clemens Berger (Université Côté d'Azur, Laboratoire Jean-Alexandre-Dieudonné)

La notion de "catégorie" fait son apparition en mathématiques dans la première moitié du vingtième siècle. Dès ses débuts ce nouveau "langage" transforme irréversiblement les approches traditionnelles de la géométrie et de l'algèbre. La priorité est donnée aux relations entre objets en reléguant à l'arrière-plan la façon dont ces objets sont constitués. Cela entraine d'un côté une réflexion renouvelée sur les fondements des mathématiques, et permet de l'autre une structuration plus pertinente des notions mathématiques, séparant l'"universel" du "spécifique". Les foncteurs entre catégories décrivent le passage d'une structure à une autre tandis que les transformations naturelles de foncteurs mettent en perspective comment deux tels passages sont reliés entre eux. Au final, on obtient une notion d'équivalence de structures qui s'avère extrêmement utile. Ces deux exposés se veulent une introduction pédestre au langage des catégories et foncteurs, accompagnée par une réflexion sur la notion d'"espace" qui en découle et qui intègre notamment une axiomatisation de ce que c'est qu'une déformation continue . Les mathématiciens utilisent souvent le terme grec "homotopie" pour ces déformations de sorte que le domaine qui étudie ces structures (introduit par Daniel Quillen fin des années 1960) s'appelle "algèbre homotopique".

Time as a root notion of mathematics (Le problème de la représentation et de la compréhension en mathématiques)

• José Ferreiros (Universidad de Sevilla)

In recent years we have become accustomed to see philosophy of mathematics interact with studies of mathematical cognition. This happens especially around the number concept, but also in relation to geometry (work by Giaquinto, Giardino, García-Pérez, Hamami, etc.). A third notion that belongs to the cognitive roots of maths is time, but this is not treated usually in our field, perhaps because the philosophy of time is usually conceived to be linked with physics. We shall employ historical considerations and some cognitive studies to argue that time is indeed a root of mathematical knowledge. In a second part of the talk, we will consider the classical (pre-relativistic) conception of time, and show how considering it as a kind of mathematical object helps reconsider and clarify the notion.

La philosophie des mathématiques de Desanti (1) (Jean-Toussaint Desanti)

• Dominique Pradelle (Sorbonne Université)

Nous tâcherons de présenter la philosophie des mathématiques de Desanti. Une telle tâche se heurte, dans le cas de Desanti, à une difficulté spécifique qui tient à son style et à son parcours intellectuels : celle du caractère problématique de l’unité de ses écrits. Car s’il existe bien un style desantien d’interrogation et de langue philosophiques, y a-t-il pour autant chez lui une doctrine unitaire, un ensemble de thèses que l’on pourrait identifier comme constituant la philosophie desantienne des mathématiques, voire des sciences ou de la connaissance en général ? En d’autres termes, peut-on se réclamer d’un système doctrinal constitué et exposé dans les livres publiés – au premier chef Les Idéalités mathématiques et La philosophie silencieuse –, qui formerait le foyer théorique à partir duquel on pourrait mettre en lumière la reprise des questions philosophiques et l’éventuelle inflexion des thèses auxquelles se livreraient les écrits annexes réédités dans Mathesis, idéalité et historicité ainsi que dans Le philosophe et les pouvoirs ? Y a-t-il une unique question centrale, voire un ensemble de questions centrales qui formeraient l’horizon problématique depuis lequel se laisseraient éclairer ces textes ? Nous tenterons ici de présenter les deux phases de son épistémologie des mathématiques : celle des Idéalités mathématiques, puis celle de La philosophie silencieuse. Nous verrons ainsi comment Desanti pratique d’abord une phénoménologie intentionnelle des objets mathématiques, avant de tendre vers une réflexion sur l’historicité de la mathesis. Bibliographie Jean-Toussaint Desanti, Les Idéalités mathématiques, Paris, Seuil, 1968 —, La philosophie silencieuse, Paris, Seuil, 1975 —, « Réponse à la première lettre » (scil. de Maurice Clavel), Paris, Hachette Littératures, 2008 —, Le philosophe et les pouvoirs, Paris, Hachette Littératures, 2008 —, « Une phénoménologie des mathématiques est-elle possible ? », in D. Pradelle et F. D. Sebbah, Penser avec Desanti, Mauvezin, T.E.R., 2010 —, Mathesis, idéalité et historicité, Lyon, ENS Éditions, 2014

Table ronde "Alain Michel et l'épistémologie historique : un dialogue entre philosophie et histoire des sciences dans l'enseignement et la recherche" (Alain Michel)

• Julien Bernard (Aix-Marseille Université, Centre Gilles Gaston Granger)
• Paola Cantù (CNRS, Centre Gilles Gaston Granger)

La table ronde abordera quelques thèmes clés de l’épistémologie historique française, en retraçant certaines étapes marquantes de l’œuvre d’Alain Michel (1946-2017), ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud, agrégé de l’université, docteur en philosophie et Professeur des Universités au sein du laboratoire de recherche fondé à Aix-en-Provence par Gilles-Gaston Granger. Il s’agira, d’une part, de comprendre dans quelle mesure « il est possible, pour un philosophe, de pratiquer l’histoire des mathématiques » ; et d’autre part, de réfléchir à la manière dont un enseignant peut exercer les élèves au dialogue entre histoire des sciences et philosophie. Paola Cantù, en prenant pour point de départ le principal ouvrage d’Alain Michel, Constitution de la théorie moderne de l’intégration, analysera sa proposition d’un « champ intermédiaire, entre le discours engendré, chez le mathématicien, par les exigences nées de sa pratique, et l’usage des concepts d’origine philosophique susceptibles de servir d’instruments d’analyse propres ». Julien Bernard interviendra sur les rapports avec l’épistémologie française, notamment Desanti et Cavaillès, sans négliger les enseignements dispensés par Alain Michel dans le cadre de ses cours d’épistémologie.

Sur l'algèbre catégorique et homotopique (2) (Algèbre catégorique et homotopique)

• Clemens Berger (Université Côté d'Azur, Laboratoire Jean-Alexandre-Dieudonné)

La notion de "catégorie" fait son apparition en mathématiques dans la première moitié du vingtième siècle. Dès ses débuts ce nouveau "langage" transforme irréversiblement les approches traditionnelles de la géométrie et de l'algèbre. La priorité est donnée aux relations entre objets en reléguant à l'arrière-plan la façon dont ces objets sont constitués. Cela entraine d'un côté une réflexion renouvelée sur les fondements des mathématiques, et permet de l'autre une structuration plus pertinente des notions mathématiques, séparant l'"universel" du "spécifique". Les foncteurs entre catégories décrivent le passage d'une structure à une autre tandis que les transformations naturelles de foncteurs mettent en perspective comment deux tels passages sont reliés entre eux. Au final, on obtient une notion d'équivalence de structures qui s'avère extrêmement utile. Ces deux exposés se veulent une introduction pédestre au langage des catégories et foncteurs, accompagnée par une réflexion sur la notion d'"espace" qui en découle et qui intègre notamment une axiomatisation de ce que c'est qu'une déformation continue . Les mathématiciens utilisent souvent le terme grec "homotopie" pour ces déformations de sorte que le domaine qui étudie ces structures (introduit par Daniel Quillen fin des années 1960) s'appelle "algèbre homotopique".

La philosophie des mathématiques de Desanti (2) (Jean-Toussaint Desanti)

• Dominique Pradelle (Sorbonne Université)

Nous tâcherons de présenter la philosophie des mathématiques de Desanti. Une telle tâche se heurte, dans le cas de Desanti, à une difficulté spécifique qui tient à son style et à son parcours intellectuels : celle du caractère problématique de l’unité de ses écrits. Car s’il existe bien un style desantien d’interrogation et de langue philosophiques, y a-t-il pour autant chez lui une doctrine unitaire, un ensemble de thèses que l’on pourrait identifier comme constituant la philosophie desantienne des mathématiques, voire des sciences ou de la connaissance en général ? En d’autres termes, peut-on se réclamer d’un système doctrinal constitué et exposé dans les livres publiés – au premier chef Les Idéalités mathématiques et La philosophie silencieuse –, qui formerait le foyer théorique à partir duquel on pourrait mettre en lumière la reprise des questions philosophiques et l’éventuelle inflexion des thèses auxquelles se livreraient les écrits annexes réédités dans Mathesis, idéalité et historicité ainsi que dans Le philosophe et les pouvoirs ? Y a-t-il une unique question centrale, voire un ensemble de questions centrales qui formeraient l’horizon problématique depuis lequel se laisseraient éclairer ces textes ? Nous tenterons ici de présenter les deux phases de son épistémologie des mathématiques : celle des Idéalités mathématiques, puis celle de La philosophie silencieuse. Nous verrons ainsi comment Desanti pratique d’abord une phénoménologie intentionnelle des objets mathématiques, avant de tendre vers une réflexion sur l’historicité de la mathesis. Bibliographie Jean-Toussaint Desanti, Les Idéalités mathématiques, Paris, Seuil, 1968 —, La philosophie silencieuse, Paris, Seuil, 1975 —, « Réponse à la première lettre » (scil. de Maurice Clavel), Paris, Hachette Littératures, 2008 —, Le philosophe et les pouvoirs, Paris, Hachette Littératures, 2008 —, « Une phénoménologie des mathématiques est-elle possible ? », in D. Pradelle et F.-D. Sebbah, Penser avec Desanti, Mauvezin, T.E.R., 2010 —, Mathesis, idéalité et historicité, Lyon, ENS Éditions, 2014

Le rôle des représentations dans la pratique des mathématiques (Le problème de la représentation et de la compréhension en mathématiques)

• Valeria Giardino (CNRS, Institut Jean Nicod)

Un nombre croissant d'études en philosophie des mathématiques ont été récemment consacrées à l'analyse de segments de la pratique des mathématiques, en reconsidérant des épisodes de son histoire mais aussi en examinant des études de cas contemporaines. Bien entendu, la pratique des mathématiques est multiforme : dans leur travail quotidien, les mathématiciens utilisent de nombreux outils différents, que ce soit pour faire de la recherche et essayer de résoudre des problèmes, ou pour rédiger des preuves et communiquer avec leurs pairs et avec un public plus large. Les diagrammes et autres types de dispositifs visuels sont couramment utilisés dans de nombreux domaines mathématiques, et leur utilisation évolue et change, l'acceptation du raisonnement diagrammatique gagnant du terrain. L'un des intérêts philosophiques de l'étude de la pratique des mathématiques réside précisément dans l'analyse du fonctionnement de ces outils et dans l'évaluation du cadre mathématique permettant leur utilisation et des conséquences théoriques que cette utilisation peut entraîner. Dans ce premier cours, je passerai en revue certaines des études qui se sont intéressées à ce thème ainsi que les questions qui se posent et les solutions proposées.

La compréhension en mathématiques (Le problème de la représentation et de la compréhension en mathématiques)

• Valeria Giardino (CNRS, Institut Jean Nicod)

La compréhension est un thème débattu en théorie de la connaissance. Elle peut se présenter sous diverses formes, dont beaucoup sont très appréciées. Selon de nombreux philosophes des sciences, par exemple, la compréhension est le bien que vise l’enquête scientifique : ce que les scientifiques veulent, lorsqu'ils entament leurs recherches, n’est pas simplement acquérir une série de croyances vraies sur le monde mais comprendre le monde (ou du moins une partie du monde), là où « comprendre le monde » implique quelque chose de plus que l'acquisition de croyances vraies. Mais de quoi parle-t-on quand on parle de compréhension en mathématiques ? L’objectif de ce deuxième cours sera de présenter des études récentes qui ont abordé ce thème, entre philosophie des mathématiques, pédagogie des mathématiques et philosophie de l’action.

Sur l'informatisation du droit

• Martin Strecker (Institut de Recherche en Informatique de Toulouse)

Cet exposé retrace mon expérience au sein d'un projet en ``Computational Law'': une tentative de formaliser la loi avec des méthodes informatiques. Je décris les ambitions initiales, sur-dimensionnées, qui ont été réduites pour se concentrer sur des contrats. Je discute quels mécanismes logiques sont utilisés pour formaliser des règles et des systèmes de règles (avec des notions de coordination entre règles comme des priorités), et comment on peut raisonner avec des règles (pour explorer un scénario spécifique) et sur des ensembles de règles (pour assurer leur complétude et leur cohérence). J'aborde la formalisation de processus qui se déroulent dans le temps, et comment des aspects déontiques sont traités - ou plutôt esquivés. Dans un domaine comme la loi, l'interaction avec un public non spécialiste est essentiel. Je décris l'interfaçage avec un outil de traitement du langage naturel, et les bouleversements induits par l'arrivée de l'intelligence artificielle générative.

Logique et linguistique de l'informatisation du droit

• Baptiste Mélès (CNRS, Archives Henri-Poincaré)

Le Code des Impôts est aujourd'hui, grâce au projet Catala, reformulé dans un langage de programmation permettant à la fois de produire un code informatique lisible par les juristes et un programme certifié sans bogue. En étudiant ce projet, nous reprendrons le programme philosophique mis en œuvre par Jean Ray dans l'/Essai sur la structure logique du Code civil français/ en 1926 : celui de révéler et de formaliser la logique et la linguistique sous-jacentes aux textes de loi.

Dites-le avec des sphères !

• Etienne Fieux

En 2008, dans l’article (https://arxiv.org/abs/0808.0739) Boolean formulae, hypergraphs and combinatorial topology, les mathématiciens J. Conant et O. Thistlethwaite proposent une approche originale pour traiter le problème P = NP ? en utilisant les outils de combinatoire topologique afin de transformer une question de complexité algorithmique en une question de « géométrie ». Même si cette approche semble être restée lettre morte, le but de cet exposé est de présenter les idées qui la mènent et qui illustrent l’usage possible de la combinatoire topologique pour traiter des problèmes de nature discrète.

Prolégomènes à une étude philosophique de Grothendieck partie II

• Jean-Jacques Szczeciniarz

On Early Years of N.A. Shanin’s Scientific Biography

• Sergei Soloviev

Nicolay Aleksandrovitch Shanin (1919-2011) has been a prominent mathematician who is remembered nowadays mostly as one of the leaders of the so called “Russian school of constructive mathematics” founded by A.A. Markov. The mathematical talent of N.A. Shanin manifested itself early: in 1939, he entered the doctoral school, with A.A. Markov as adviser. The mathematical activity of N.A. Shanin is “divided clearly into two periods – topological and constructivist”, until the end of 1940es and later, respectively. A.A. Markov turned to constructivism around 1946 and was joined by N.A. Shanin soon after. Before that N.A. Shanin worked on hard problems arising in general (set-theoretical) topology. During the first, topological, period N.A. Shanin defended his Ph.D. (“candidate of sciences”) thesis (1942) and D.Sci. thesis (1945). Later he denied the significance of these works. However, N.A. Shanin’s works on general topology are still considered as important. In this paper the letters from P.S. Alexandroff and A.A. Markov to N.A. Shanin (in topological period of his research) are considered. This correspondence helps to understand better the motives of N.A. Shanin "conversion" to constructivism.

Les usages et les fonctions épistémologiques des diagrammes en analyse

• Thomas Berthod

En philosophie de la pratique mathématique, l’usage des diagrammes est un thème récurrent d’étude. Néanmoins, la plupart des études se concentrent sur des exemples qui concernent des théories plus ou moins géométriques : la géométrie – ou du moins une partie de celle – décrite dans les Eléments d’Euclide, la théorie des nœuds, la pratique géométrique de différents mathématiciens grecs, etc. A notre connaissance, comparativement à cette littérature sur des cas géométriques, l’usage des diagrammes dans d’autres contextes a été relativement peu étudié. L’objectif de notre présentation sera d’étudier l’usage des diagrammes dans le cadre particulier de l’analyse afin de compléter les thèses des quelques études entreprises dans le cas de cette discipline spécifique. Nous nous appuierons notamment sur le cas historique des travaux mathématiques de René Baire pour illustrer nos thèses ou nos critiques et précisions sur les analyses épistémologiques de philosophes antérieurs.

Phénoménologie des mathématiques et épistémologie française : réception et critiques de Husserl chez Couturat et Cavaillès

• Andrea Ariotto

Cet exposé restituera la discussion historique et théorique de la philosophie des mathématiques du premier Husserl dans son rapport avec la tradition française en philosophie des mathématiques. Premièrement, je souhaite présenter une reconstruction de la réception française des premiers travaux de Husserl (essentiellement la Philosophie der Arithmetik). Pour cela, je vais m’arrêter sur le rôle joué par Couturat dont l’ouvrage De l’infini mathématique (1896) représente un exemple majeur de la réception de Husserl dans le contexte francophone. L’ouvrage de Couturat permet en outre d’illustrer les questions fondamentales qui ont traversé les débats philosophico-mathématiques à la fin du XIXe siècle et qui se relient, d’une part, à la rigorisation de l’analyse visant à l’élaboration d’une définition du concept de nombre et, d’autre part, au développement de la théorie des ensembles. L’ouvrage de Couturat représente de façon exemplaire la nécessité pour ces débats de redéfinir la connaissance mathématique dans son ensemble. Dans un deuxième temps, je vais discuter les aspects sur lesquels les positions de Husserl et de Couturat convergent, mais également les critiques formulées par ce dernier à l’égard des thèses de la Philosophie der Arithmetik (cf. De l’infini mathématique, IIe partie, Livre I, chap. III). Le point fondamental se trouve dans la discussion du rapport entre les notions d’unité et de « quelque chose » (Etwas) qui est présupposé par Husserl (cf. Phil. der Arithmetik, chap. IV, p. 84-85 Hua XII). Si Couturat vise à critiquer la conception husserlienne de l’abstraction, il semble qu’il y ait là l’origine d’une objection majeure qui sera ensuite reprise et développée par Jean Cavaillès dans Sur la logique et la théorie de la science lorsque il s’attache à critiquer la notion husserlienne d’« objet général » qui définit l’ontologie formelle telle qu’elle est présentée dans Formale und transzendentale Logik (cf. Sur la logique et la théorie de la science, p. 531-534 OC). Je reprendrai cette objection en montrant comment elle finit par remettre en question la conception husserlienne de la généralité que Cavaillès considère comme affectée par un principe de réduction empiriste (cf. Formale und transzendentale Logik, §§ 83- 87). Je conclurai mon exposé en opposant à la conception husserlienne telle qu’elle est critiquée par Cavaillès, la conception de l’abstraction mathématique, telle que celui-ci l’expose en s’appuyant sur les notions de paradigme et de thématique en tant que « propriété constitutive de l’essence de la pensée - ou des enchaînement intelligibles » (Sur la logique et la théorie de la science, p. 509 OC), tout en posant la question de l’origine husserlienne de ces notions caractéristiques de la philosophie de Cavaillès.