ANR HEAD

17 févr. 2025, 09:30 → 20 févr. 2025, 18:00 Europe/Paris

Amphi Lebesgue (IRMAR)

La conférence de lancement du projet ANR HEAD (Hyperbolic Equations, Approximations & Dynamics) se déroulera à l'IRMAR à Rennes, du lundi 17/02 au jeudi 20/02.

Le programme de la conférence s’organisera autour des thématiques du projet (#hyperbolique #bords #numérique #stabilité #limites singulières #dispersif) et comprendra des mini-cours sur ces thématiques, des exposés et des moments d'échanges entre les participants.

Équipe d'organisation : B. Boutin, V. Duchêne, L. Gassot, L.M. Rodrigues

lun. 17 février

09:30 Accueil

1 Mini-Cours – Stabilité

Le but est d'introduire quelques éléments de théorie spectrale pour l'étude des équations linéaires, avec un focus particulier sur les linéarisés autour des ondes progressives. On y discutera en particulier de dichotomie exponentielle et de fonctions d'Evans.

Orateur: M. Miguel Rodrigues (IRMAR, Université de Rennes)

2 Approximation visqueuse de systèmes hyperboliques triangulaires en 1D avec viscosité variable

Dans cette exposé on étudiera la limite visqueuse pour des systèmes hyperboliques 2*2 triangulaires avec donnée initiale petite dans $TV(\mathbb R)$. On montrera en particulier que l'on peut obtenir des estimations uniformes dans $TV$ pour les approximations visqueuses en s'inspirant des techniques de Bianchini-Bressan à savoir décomposer le vecteur $u_x$ comme somme d'ondes progressives.

Orateur: M. Boris Haspot (Ceremade, Université Paris Dauphine)

12:15 Repas

3 Mini-Cours – Stabilité

Le but est d'introduire quelques éléments de théorie spectrale pour l'étude des équations linéaires, avec un focus particulier sur les linéarisés autour des ondes progressives. On y discutera en particulier de dichotomie exponentielle et de fonctions d'Evans.

Orateur: M. Miguel Rodrigues (IRMAR, Université de Rennes)

14:30 Pause Café

4 Analyse numérique d'équations de Hamilton-Jacobi avec contrainte : des exemples

Je présenterai quelques résultats généraux sur les équations de Hamilton-Jacobi, qui me permettront d'introduire les spécificités de l'analyse numérique de ces équations. L'exposé portera en particulier sur les conséquences de l'analyse des problèmes continus sur le choix des discrétisations et les preuves de convergence. J'illustrerai mes propos par deux exemples de conception et d'analyse de schémas numériques. Le premier pour des équations de Hamilton-Jacobi supplémentées d'une contrainte qui fixe le minimum de la solution [Gaudeul, H. 2024]. Le second, qui est un travail en cours avec T. Laidin (Brest), pour un problème couplé entre la solution et son minimum.

Orateur: Mme Hélène Hivert (Centre Inria de l’Université de Rennes)

5 Limite toit rigide et temps dispersif

Dans cet exposé nous expliquerons comment il est possible d'améliorer le temps d’existence (au delà du temps hyperbolique) de certains systèmes dérivant des équations de vagues. Il s’agira de voir comment ces méthodes sont perturbées quand la dispersion est faible et de discuter le temps « optimal » que l’on aimerait au moins obtenir. On fera aussi le lien avec la limite toit rigide.

Orateur: M. Benjamin Melinand (Ceremade, Université Paris Dauphine)

17:00 Discussions

mar. 18 février

6 Mini-Cours – Hyperbolique

L'idée est de faire un survol des notions fondamentales et de quelques résultats marquants dans la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques, avec l'objectif de développer une culture commune à ce sujet au sein du projet HEAD. La première séance sera consacrée aux systèmes non-linéaires monodimensionnels, en commençant par le cas scalaire. La seconde sera plutôt linéaire et multidimensionnelle.

Orateur: Sylvie Benzoni-Gavage (Institut Camille Jordan, Université de Lyon 1)

7 Problème ouvert: (In)stabilité des sauts hydrauliques sur les pentes (dé)croissantes

Dans un travail récent avec N. Boulos El Makary, E. Audusse et M. Parisot, nous avons classifié toutes les solutions stationnaires des équations de Saint Venant pour différentes topographies. Il est apparu que même dans le cas classique d'un fond "bosse" deux solutions peuvent coexister pour un même jeu de conditions aux bords, l'une avec seulement un saut hydraulique (ou choc stationnaire) à droite de la bosse et l'autre avec un saut hydraulique à gauche de la bosse. Des expérimentations numériques ont montré que toutes les solutions avec une discontinuité sur pente croissante semblent instables, tandis que celles qui ne contiennent qu'un seul saut sur pente décroissante semblent stables. On trouve des preuves expérimentales et un début d'explication dans les travaux de Baines et Whitehead (2003). Je présenterai une piste de construction de solution pour démontrer l'instabilité.

Orateur: Mme Nina Aguillon (LJLL, Sorbonne Université)

12:15 Repas

8 Mini-Cours – Hyperbolique

L'idée est de faire un survol des notions fondamentales et de quelques résultats marquants dans la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques, avec l'objectif de développer une culture commune à ce sujet au sein du projet HEAD. La première séance sera consacrée aux systèmes non-linéaires monodimensionnels, en commençant par le cas scalaire. La seconde sera plutôt linéaire et multidimensionnelle.

Orateur: Sylvie Benzoni-Gavage (Institut Camille Jordan, Université de Lyon 1)

15:00 Pause Café

9 Stabilité de solutions stationnaires discontinues de systèmes hyperboliques avec terme source

Le « lac au repos » fait référence à des solutions stationnaires des équations de Saint-Venant, décrivant une surface de l'eau plate et avec une vitesse horizontale nulle. Dans le cas d'une bathymétrie discontinue, cette caractérisation perdure, alors qu'il n'existe pas de définition consensuelle des solutions faibles pour les équations de Saint-Venant. Il y a quelques années, il a cependant été montré qu'un principe de comparaison existe entre ces solutions stationnaires et toute solution instationnaire, aboutissant à un résultat de stabilité du lac au repos. Ce résultat reste valable au niveau discret. Une question en suspens est d'obtenir une stabilité asymptotique de ces solutions, lorsqu'un effet dissipatif comme la friction est ajouté.

Orateur: M. Nicolas Seguin (Antenne Inria de l'Université de Montpellier)

10 Mini-Cours – Limites singulières

On discutera de quelques principes et résultats marquants autour de limites singulières de systèmes hyperboliques. Le premier exposé sera centré sur les limites de relaxation, le second sur les limites de type "bas Mach".

Orateur: M. Vincent Duchêne (CNRS & Université de Rennes)

mer. 19 février

11 Mini-Cours – Schémas numériques

Il sera question de l'analyse des schémas de différences finies linéaires sous l'angle de leur relation de dispersion discrète. Le premier cours se concentrera sur le problème sans bord et le second abordera les conditions de bords discrètes et les fonctions de stabilité associées.

Orateur: M. Benjamin Boutin (IRMAR, Université de Rennes)

12 Mini-Cours – Limites singulières

On discutera de quelques principes et résultats marquants autour de limites singulières de systèmes hyperboliques. Le premier exposé sera centré sur les limites de relaxation, le second sur les limites de type "bas Mach".

Orateur: M. Vincent Duchêne (CNRS & Université de Rennes 1)

12:15 Repas

13 Mini-Cours – Schémas numériques

Il sera question de l'analyse des schémas de différences finies linéaires sous l'angle de leur relation de dispersion discrète. Le premier cours se concentrera sur le problème sans bord et le second abordera les conditions de bords discrètes et les fonctions de stabilité associées.

Orateur: M. Benjamin Boutin (IRMAR, Université de Rennes)

15:00 Pause Café

14 Chocs dans les équations hyperboliques et dispersives

Je présenterai quelques idées sur la formulation des relations de Rankine-Hugoniot (RH) pour les équations hyperboliques non-conservatives des écoulements d'eau peu profonde cisaillés, ainsi qu'une généralisation possible des relations RH pour la description des solutions « discontinues » des équations dispersives (BBM, équations de Serre-Green-Naghdi, ...).

Orateur: M. Sergey Gavrilyuk (Aix Marseille Université)

16:30 Discussions

19:30 Dîner

jeu. 20 février

15 Mini-Cours – Chocs dispersifs et intégrabilité

Ce mini-cours portera sur l’étude de chocs dispersifs dans le cas d’équations dispersives intégrables. On détaillera en particulier comment obtenir un développement asymptotique du choc dispersif pour l’équation de Benjamin-Ono. L’outil principal est l’existence d’une formule explicite établie par Patrick Gérard pour des données initiales très générales. On comparera également les résultats et méthodes à l’équation de Korteweg-de Vries.

Orateur: Mme Louise Gassot (CNRS & Université de Rennes)

16 Approximation numérique de l’equation de Benjamin-Ono via une formule explicite

On introduira une nouvelle approche pour la conception et l'analyse de schémas pour certaines EDP intégrables non linéaires et non locales, incluant l'équation de Benjamin-Ono. Les schémas obtenus s’avèrent beaucoup plus précis et efficaces pour simuler en temps long ces EDP intégrables ainsi que leurs quantités conservées. Ces schémas sont basés sur des formules explicites, qui sont apparues récemment dans la théorie des équations intégrables non linéaires. Ce résultat ouvre des portes à l’étude du comportement asymptotique des solutions, tel que leur résolution en solitons ou les limites à faible dispersion.

Orateur: Mme Yvonne Alama-Bronsard (NSF, IRMAR, Université de Rennes)

17 On the Stability of Traveling Waves in Plasma Physics and Fluid Mechanics

In this talk, we will discuss the stability of non-constant equilibrium solutions, such as periodic and solitary traveling waves, in certain conservative models arising from plasma physics and fluid mechanics, which often exhibit dispersive effects. Our primary focus will be on the long-term dynamics of periodic waves in one-dimensional equations (such as KdV and Whitham) and the transverse asymptotic stability of one-dimensional traveling waves in higher-dimensional systems (such as Euler-Poisson and water waves). If time permits, we will also mention other interesting related questions.

Orateur: M. Changzhen Sun (CNRS & LMB, Besançon)

12:45 Repas

18 Mini-Cours – Chocs dispersifs et intégrabilité

Ce mini-cours portera sur l’étude de chocs dispersifs dans le cas d’équations dispersives intégrables. On détaillera en particulier comment obtenir un développement asymptotique du choc dispersif pour l’équation de Benjamin-Ono. L’outil principal est l’existence d’une formule explicite établie par Patrick Gérard pour des données initiales très générales. On comparera également les résultats et méthodes à l’équation de Korteweg-de Vries.

Orateur: Mme Louise Gassot (CNRS & Université de Rennes)

15:00 Pause Café

15:30 Discussions