Les modèles fluides avec bruit transport sont actuellement l'objet de nombreuses études. Le bruit transport provient d'une modélisation de l'action des petites échelles sur les grandes échelles. De telles modèles ont été introduits par Mikulevicius et Rozovsky dans le cadre d'une modélisation
lagrangienne, qui a été reprise et précisé par Mémin. Ces modèles sont appelés LU (Location uncertainty). Une approche variationnelle a été proposée par Holm qui obtient des modèles similaires mais différent, appelés SALT (Stochastic Advection by Lie Transport). Ces modélisations partent d'un postulat qui est que les petites échelles sont décrites par des bruits blanc en temps, donc complétement décorrélés. Ils supposent donc implicitement une séparation infinie des échelles. Il semble naturel de se demander si ces modèles sont bien limites de modèles partant de petites échelles non totalement décorrélés.
Dans la première partie de l'exposé, nous étudierons un modèle avec une séparation des échelles grandes qui converge vers l'infini. Il s'agit de deux équations de Navier-Stokes couplées dont la 2ème à une grande friction et un grand terme de bruit. On montrera comment passé à la limite dans ce modèle par la méthode de la fonctions test perturbée que nous introduirons. On justifiera ainsi de nombreux modèles fluides stochastiques LU. Nous introduirons le mouvement brownien, le processus de Wiener, un peu de calcul stochastique et le générateur d'un processus en dimension infinie. Ce dernier objet est fondamentale dans cette méthode.
Dans la deuxième partie, nous revisiterons les modélisations LU et SALT en partant encore une fois de petites échelles non totalement décorrélées. De tels bruits ont l'avantage par rapport au bruit que le calcul classique peut être utilisé. Nous verrons que bien que LU ne puissent être dérivé d'un principe variationnel, le fait de partir de petites échelles corrélés permet d'utiliser un principe variationnel pour obtenir des équations d'évolution sur les composantes du bruit. Nous obtenons ainsi un modèle complet pour l'évolution des grandes échelles par une équation stochastique avec un bruit transport dont les caractéristiques ne sont pas, comme dans la quasi totalité des cas, supposées connues mais évoluent elles aussi par une équation d'évolution.
