Une étude markovienne du recouvrement aléatoire de la demi-droite

par M. Clément Foucart (Université Sorbonne Paris Nord/Ecole Polytechnique)

vendredi 7 févr. 2025, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

E2 1180 (Tours)

La notion de recouvrement aléatoire de la demi-droite a été introduit par Mandelbrot en 1972. Il s'agit de placer sur la demi-droite positive des intervalles de longueurs Poissoniennes et d'étudier l'ensemble des points non-recouverts par ces intervalles. Le problème est relativement simple lorsque les atomes du processus ponctuel de Poisson sous-jacent sont en nombre fini (la mesure d'intensité est finie). En revanche, lorsque l'on place une infinité d'intervalles microscopiques, l'existence même de points non-recouverts est plus difficile à étudier. En 1985, Fitzsimmons, Fristedt et Shepp (FSS) ont utilisé la théorie des ensembles régénératifs pour caractériser les ensembles de points non-recouverts (baptisés random cutout sets par Mandelbrot). Ces ensembles jouent depuis lors un rôle clé dans divers contextes, parfois éloignés du problème initial.

 

L'objectif de l'exposé est de présenter une nouvelle preuve du théorème de FSS à l'aide de l'étude du temps local en 0 d'un processus Markovien appelé processus 'shot-noise' extrémal (Molchanov-Heinrich 1994, Dombry 2012). Ces processus possèdent de nombreuses propriétés explicites (semi-groupe, générateur, loi stationnaire, temps de passage, temps local...).  Il s'agit d'un travail, écrit avec Linglong Yuan (Liverpool), à paraître dans Bernoulli.