L’analyse harmonique abstraite a pour objet les représentations unitaires des groupes localement compacts. Elle généralise à la fois la théorie de Fourier lorsque le groupe considéré est abélien, et la théorie des représentations des groupes finis initiée au début du 20ème siècle par Frobenius et Dedekind.
Dans cet exposé, on expliquera d’abord comment l’étude des sous-représentations d’une représentation unitaire $(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$ d’un groupe localement compact $G$ se ramène à celle du commutant $\pi(G)’$ de la représentation. Ce commutant motivera la définition de la structure d’algèbre de von Neumann dont il est muni. On interprétera alors la \emph{factorialité} (la trivialité du centre) d’une telle algèbre comme une forme affaiblie d’irréductibilité de la représentation $\pi$.
On s’intéresse alors à la question suivante: quand-est-ce que l’algèbre de Von Neumann associée à la représentation régulière d’un groupe localement compact est-elle factorielle? Si $G$ est discret, on obtient aisément une condition nécessaire et suffisante. A contrario, lorsque $G$ n’est pas discret, la question est largement mal comprise. On donnera quelques exemples, on montrera comment cette question peut être reliée à celle de la factorialité d’algèbres de von Neumann associées à des actions de groupes localement compacts sur d’autres algèbres de von Neumann, et on présentera quelques critères obtenus dans cette situation.
