Un groupe G est dit simplement 2-transitif s’il admet une action sur un
ensemble X de cardinal au moins 2 telle que, pour tous couples (x,x’)
et (y,y’) d’éléments distincts de X, il existe un unique élément g de G
tel que g(x,x’)=(y,y’). Par exemple, le groupe affine AGL(1,K) sur un
corps K est simplement 2-transitif (pour son action naturelle sur K)
et, de façon assez surprenante, la question suivante est longtemps
restée ouverte : existe-t-il un groupe simplement 2-transitif qui n’est
pas isomorphe à un certain AGL(1,K) ? Il y a quelques années, Rips,
Segev et Tent ont construit le premier exemple d’un groupe simplement
2-transitif non affine, apportant ainsi une réponse positive à cette
question. Dans mon exposé, j’expliquerai qu’on peut aller plus loin et
construire divers groupes simplement 2-transitifs qui sont radicalement
différents des groupes affines. Ces résultats sont issus de plusieurs
travaux avec Marco Amelio, Vincent Guirardel et Katrin Tent.
