Dans un billard planaire strictement convexe, les droites, qui l'intersectent, sont réflechies du bord selon la loi de réflexion classique. Une caustique d'un billard planaire est une courbe dont toute droite tangente est réfléchie à une autre sa droite tangente. La célèbre conjecture de Birkhoff concerne les billards planaires convexes bornées intégrables au sense de Birkhoff: c'est-à-dire, admettant un feuilletage en caustiques fermées près de la frontière, du côté intérieur. Elle affirme, que les seuls billards intégrables au sense de Birkhoff sont les ellipses.
Dans l'exposé, je vais parler d'une conjecture plus générale, formulée par Sergei Tabachnikov pour des billards duaux, généralisant, à la fois, les billards sur les surfaces à courbure constante et les billards extérieurs. Ce sont courbes planaires munies d'une famille d'involutions projectives de droites tangentes, fixant le point de tangence. Sous condition supplémentaire d'existence d'une intégrale première rationnelle, nous montrons, que la courbe du billard (même si c'est un germe C⁴) est toujours une conique. Nous classifions tous les billards duaux rationnellement intégrables locaux, sur une conique. Miraculeusement, apart des structures rationnellement intégrables bien connues, données par un pinceau de coniques, il y a une liste infinie de structures exotiques.
Si le temps permet, j'évoquerai brièvement quelques résultats plus récents.
